$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、直接代入すると不定形 $\frac{0}{0}$ になるので、工夫が必要です。分子と分母に $1 + \cos x$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x(1 + \cos x)}$

分子を展開すると、$1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)}$

$\sin^2 x$ を $\sin x \cdot \sin x$ と分解して、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用します。また、$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 \cdot \frac{0}{1 + 1} = 1 \cdot \frac{0}{2} = 0$

3. 最終的な答え

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