与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれ導関数を求めます。 (1) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$ (2) $y = \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^2$ (3) $y = \sqrt[3]{(x+2)(x^2+2)}$ (4) $y = x^x \quad (x>0)$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数について、それぞれ導関数を求めます。

(1) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

(2) $y = \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^2$

(3) $y = \sqrt[3]{(x+2)(x^2+2)}$

(4) $y = x^x \quad (x>0)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$ の場合：

商の微分法と合成関数の微分法を用います。$u = \sqrt{x+2}$, $v = x+1$ とおくと、$y = \frac{u}{v}$ です。

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

$\frac{dv}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{du}{dx}v - u\frac{dv}{dx}}{v^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}(x+1) - \sqrt{x+2}(1)}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x+2}} - \sqrt{x+2}}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - 2(x+2)}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2} = \frac{-x-3}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2}$

(2) $y = \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^2$ の場合：

合成関数と商の微分法を用います。$u = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ とおくと、$y = u^2$ です。

$\frac{du}{dx} = \frac{(2x)(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x - 2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = 2\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right) \frac{4x}{(x^2+1)^2} = \frac{8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$

(3) $y = \sqrt[3]{(x+2)(x^2+2)}$ の場合：

合成関数の微分法と積の微分法を用います。

$y = \left((x+2)(x^2+2)\right)^{1/3}$ と書けます。

$u = (x+2)(x^2+2) = x^3+2x^2+2x+4$ とおくと、$y = u^{1/3}$ です。

$\frac{du}{dx} = 3x^2+4x+2$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-2/3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{3}\left((x+2)(x^2+2)\right)^{-2/3}(3x^2+4x+2) = \frac{3x^2+4x+2}{3\left((x+2)(x^2+2)\right)^{2/3}}$

(4) $y = x^x \quad (x>0)$ の場合：

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x-3}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2+4x+2}{3\left((x+2)(x^2+2)\right)^{2/3}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$