与えられた4つの関数をそれぞれ微分せよ。 (1) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$ (2) $y = (\frac{x^2-1}{x^2+1})^2$ (3) $y = \sqrt[3]{(x+2)(x^2+2)}$ (4) $y = x^x$ (ただし、$x>0$)

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分せよ。

(1) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

(2) $y = (\frac{x^2-1}{x^2+1})^2$

(3) $y = \sqrt[3]{(x+2)(x^2+2)}$

(4) $y = x^x$ (ただし、$x>0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

商の微分法と合成関数の微分法を使う。

$y' = \frac{(\sqrt{x+2})'(x+1) - \sqrt{x+2}(x+1)'}{(x+1)^2}$

$(\sqrt{x+2})' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}(x+1) - \sqrt{x+2}}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{(x+1) - 2(x+2)}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2} = \frac{x+1-2x-4}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2} = \frac{-x-3}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2}$

(2) $y = (\frac{x^2-1}{x^2+1})^2$

合成関数の微分法と商の微分法を使う。

$y' = 2(\frac{x^2-1}{x^2+1}) (\frac{x^2-1}{x^2+1})'$

$(\frac{x^2-1}{x^2+1})' = \frac{(x^2-1)'(x^2+1) - (x^2-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

$y' = 2(\frac{x^2-1}{x^2+1}) \frac{4x}{(x^2+1)^2} = \frac{8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$

(3) $y = \sqrt[3]{(x+2)(x^2+2)} = ((x+2)(x^2+2))^{1/3}$

合成関数の微分法と積の微分法を使う。

$y' = \frac{1}{3}((x+2)(x^2+2))^{-2/3} ((x+2)(x^2+2))'$

$((x+2)(x^2+2))' = (x+2)'(x^2+2) + (x+2)(x^2+2)' = 1(x^2+2) + (x+2)(2x) = x^2+2+2x^2+4x = 3x^2+4x+2$

$y' = \frac{1}{3}((x+2)(x^2+2))^{-2/3} (3x^2+4x+2) = \frac{3x^2+4x+2}{3\sqrt[3]{((x+2)(x^2+2))^2}} = \frac{3x^2+4x+2}{3((x+2)(x^2+2))^{2/3}}$

(4) $y = x^x$

両辺の自然対数を取る。

$\ln y = \ln (x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{y'}{y} = (x \ln x)' = x' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$y' = y(\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{-x-3}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2}$

(2) $y' = \frac{8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$

(3) $y' = \frac{3x^2+4x+2}{3((x+2)(x^2+2))^{2/3}}$

(4) $y' = x^x (\ln x + 1)$