放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線で、原点を通り、頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線で、原点を通り、頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x - 1)^2 + 1 + 1 = -(x - 1)^2 + 2$

したがって、与えられた放物線の頂点は $(1, 2)$ です。

平行移動後の放物線の方程式は $y = -(x - p)^2 + q$ と表せます。ここで $(p, q)$ は頂点の座標です。

頂点 $(p, q)$ が直線 $y = 2x - 1$ 上にあるので、$q = 2p - 1$ が成り立ちます。

したがって、放物線の方程式は $y = -(x - p)^2 + 2p - 1$ となります。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、方程式に代入すると

$0 = -(0 - p)^2 + 2p - 1$

$0 = -p^2 + 2p - 1$

$p^2 - 2p + 1 = 0$

$(p - 1)^2 = 0$

$p = 1$

$q = 2p - 1 = 2(1) - 1 = 1$

したがって、頂点は $(1, 1)$ となり、放物線の方程式は $y = -(x - 1)^2 + 1$ となります。

これを展開すると $y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = -x^2 + 2x - 1 + 1 = -x^2 + 2x$ となります。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 2x$