P, Q, R, S の 4 人がボウリングに行った結果について、以下の情報が与えられています。 * I. 4 人の平均点は 60 点 * II. P と R の平均点は 50 点 * III. R と S の平均点は 65 点 これらの情報に加え、以下の選択肢ア、イ、ウのうち、どれを最低限加えれば 4 人の点数が確定するかを問う問題です。 * ア. P と S の平均点は 65 点 * イ. P は S より 20 点高い * ウ. S は 4 人の中で最高点である

1. 問題の内容

P, Q, R, S の 4 人がボウリングに行った結果について、以下の情報が与えられています。

* I. 4 人の平均点は 60 点

* II. P と R の平均点は 50 点

* III. R と S の平均点は 65 点

これらの情報に加え、以下の選択肢ア、イ、ウのうち、どれを最低限加えれば 4 人の点数が確定するかを問う問題です。

* ア. P と S の平均点は 65 点

* イ. P は S より 20 点高い

* ウ. S は 4 人の中で最高点である

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を数式で表します。

P, Q, R, S の点数をそれぞれ $p, q, r, s$ とします。

* I より: $\frac{p + q + r + s}{4} = 60$ → $p + q + r + s = 240$

* II より: $\frac{p + r}{2} = 50$ → $p + r = 100$

* III より: $\frac{r + s}{2} = 65$ → $r + s = 130$

上記３つの式から、$q$ を消去することを考えます。

I の式にII, III の式を代入します。

$p+r=100$, $r+s=130$ なので、$p=100-r$, $s=130-r$

これらをIの式に代入します:

$(100 - r) + q + r + (130 - r) = 240$

$230 + q - r = 240$

$q - r = 10$

$q = r + 10$

ここで、選択肢ア、イ、ウを検討します。

* ア. $\frac{p + s}{2} = 65$ → $p + s = 130$

$p = 100 - r$, $s = 130 - r$ なので、

$(100 - r) + (130 - r) = 130$

$230 - 2r = 130$

$2r = 100$

$r = 50$

このとき、$p = 50$, $q = 60$, $s = 80$. これで 4 人の点数がすべて確定します。

* イ. $p = s + 20$

$p = 100 - r$, $s = 130 - r$ なので、

$100 - r = (130 - r) + 20$

$100 - r = 150 - r$

$100 = 150$

これは矛盾しているので、イだけでは点数は確定しません。

* ウ. S が 4 人の中で最高点である。$s > p, s>q, s>r$

$s=130-r$ なので、$r$の値によって変わってきます。これだけでは確定できません。

選択肢アだけで確定することがわかったので、他の組み合わせを検討する必要はありません。

3. 最終的な答え

アだけ