袋の中に赤玉6個と白玉3個が入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出す。 (1) 白玉の出る個数の確率を表にしたものを完成させる。 (2) (1)で完成させた表を利用して、白玉の出る個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉6個と白玉3個が入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出す。

(1) 白玉の出る個数の確率を表にしたものを完成させる。

(2) (1)で完成させた表を利用して、白玉の出る個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2個の玉の取り出し方の総数を計算する。

これは、9個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、$_9C_2$となる。

$_9C_2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

次に、白玉の出る個数ごとの確率を計算する。

* 白玉が0個の場合：2個とも赤玉である確率

赤玉6個から2個を選ぶ組み合わせは、$_6C_2$となる。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、確率は $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

* 白玉が1個の場合：赤玉1個と白玉1個である確率

赤玉6個から1個を選ぶ組み合わせは、$_6C_1 = 6$

白玉3個から1個を選ぶ組み合わせは、$_3C_1 = 3$

したがって、確率は $\frac{6 \times 3}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

* 白玉が2個の場合：2個とも白玉である確率

白玉3個から2個を選ぶ組み合わせは、$_3C_2$となる。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

したがって、確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

(2)

期待値は、各々の値にその値をとる確率をかけたものの総和で求められる。

白玉の出る個数の期待値をEとすると、

$E = 0 \times \frac{5}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{12}$

$E = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{12}$

$E = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 完成した表：

| 個数 | 0個 | 1個 | 2個 | 計 |

| ---- | ---- | ---- | ---- | -- |

| 確率 | 5/12 | 1/2 | 1/12 | 1 |

(2) 白玉の出る個数の期待値：2/3