与えられた平方根を簡略化する問題です。つまり、$\sqrt{20}, \sqrt{40}, \sqrt{54}, \sqrt{60}, \sqrt{63}, \sqrt{80}, \sqrt{96}, \sqrt{108}, \sqrt{125}, \sqrt{180}$ をそれぞれ、$a\sqrt{b}$ の形に変形します。ここで、$a$ は整数、$b$ は平方因子を持たない整数です。

1. 問題の内容

与えられた平方根を簡略化する問題です。つまり、$\sqrt{20}, \sqrt{40}, \sqrt{54}, \sqrt{60}, \sqrt{63}, \sqrt{80}, \sqrt{96}, \sqrt{108}, \sqrt{125}, \sqrt{180}$ をそれぞれ、$a\sqrt{b}$ の形に変形します。ここで、$a$ は整数、$b$ は平方因子を持たない整数です。

2. 解き方の手順

(11) $\sqrt{20}$

$20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5$なので、

$\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \times 5} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

(12) $\sqrt{40}$

$40 = 4 \times 10 = 2^2 \times 10 = 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$なので、

$\sqrt{40} = \sqrt{2^2 \times 10} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

(13) $\sqrt{54}$

$54 = 9 \times 6 = 3^2 \times 6 = 3^2 \times 2 \times 3 = 2 \times 3^3$なので、

$\sqrt{54} = \sqrt{3^2 \times 6} = \sqrt{3^2} \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

(14) $\sqrt{60}$

$60 = 4 \times 15 = 2^2 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5$なので、

$\sqrt{60} = \sqrt{2^2 \times 15} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$

(15) $\sqrt{63}$

$63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$なので、

$\sqrt{63} = \sqrt{3^2 \times 7} = \sqrt{3^2} \times \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$

(16) $\sqrt{80}$

$80 = 16 \times 5 = 4^2 \times 5 = 2^4 \times 5$なので、

$\sqrt{80} = \sqrt{4^2 \times 5} = \sqrt{4^2} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

(17) $\sqrt{96}$

$96 = 16 \times 6 = 4^2 \times 6 = 2^4 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3$なので、

$\sqrt{96} = \sqrt{4^2 \times 6} = \sqrt{4^2} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

(18) $\sqrt{108}$

$108 = 36 \times 3 = 6^2 \times 3 = 2^2 \times 3^3$なので、

$\sqrt{108} = \sqrt{6^2 \times 3} = \sqrt{6^2} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

(19) $\sqrt{125}$

$125 = 25 \times 5 = 5^2 \times 5 = 5^3$なので、

$\sqrt{125} = \sqrt{5^2 \times 5} = \sqrt{5^2} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

(20) $\sqrt{180}$

$180 = 36 \times 5 = 6^2 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$なので、

$\sqrt{180} = \sqrt{6^2 \times 5} = \sqrt{6^2} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(11) $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(12) $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

(13) $\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

(14) $\sqrt{60} = 2\sqrt{15}$

(15) $\sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

(16) $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

(17) $\sqrt{96} = 4\sqrt{6}$

(18) $\sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

(19) $\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

(20) $\sqrt{180} = 6\sqrt{5}$