6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数の個数を求める。 (1) 4桁の整数 (2) 4桁の奇数 (3) 4桁の偶数 (4) 4桁の5の倍数 (5) 2400よりも大きい4桁の整数

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数の個数を求める。

(1) 4桁の整数

(2) 4桁の奇数

(3) 4桁の偶数

(4) 4桁の5の倍数

(5) 2400よりも大きい4桁の整数

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数の個数

千の位は0以外の5通り。百の位は千の位で使った数字以外の5通り。十の位は千の位と百の位で使った数字以外の4通り。一の位は千の位、百の位、十の位で使った数字以外の3通り。

よって、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個

(2) 4桁の奇数の個数

一の位が奇数（1, 3, 5）である必要があるので、3通り。

千の位は0と一の位で使った数字以外の4通り。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外の4通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使った数字以外の3通り。

よって、

$3 \times 4 \times 4 \times 3 = 144$個

(3) 4桁の偶数の個数

まず、一の位が0の場合を考える。

一の位は0なので1通り。

千の位は0以外の5通り。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外の4通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使った数字以外の3通り。

よって、

$1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$個

次に、一の位が2か4の場合を考える。

一の位は2通り。

千の位は0と一の位で使った数字以外の4通り。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外の4通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使った数字以外の3通り。

よって、

$2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$個

したがって、4桁の偶数は$60 + 96 = 156$個

(4) 4桁の5の倍数の個数

一の位が0か5の場合を考える。

一の位が0の場合、1通り。千の位は5通り。百の位は4通り。十の位は3通り。よって$1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

一の位が5の場合、1通り。千の位は0以外の4通り。百の位は4通り。十の位は3通り。よって$1 \times 4 \times 4 \times 3 = 48$通り。

よって、$60+48=108$個。

(5) 2400よりも大きい4桁の整数の個数

千の位が2の場合、百の位は4, 5。

千の位が2、百の位が4の場合、十の位は0, 1, 3, 5。一の位は残りの2通り。$1 \times 1 \times 4 \times 2 = 8$通り。

千の位が2、百の位が5の場合、十の位は0, 1, 3, 4。一の位は残りの2通り。$1 \times 1 \times 4 \times 2 = 8$通り。

千の位が3, 4, 5の場合、百の位は5通り。十の位は4通り。一の位は3通り。$3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$通り。

よって、$8+8+180 = 196$個。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 144個

(3) 156個

(4) 108個

(5) 196個