8人の人を、以下の3つの場合に分けて、それぞれの場合の分け方の総数を求めます。 (1) A, B, C, Dの4つのグループに、2人ずつ分ける。 (2) 2人ずつの4つのグループに分ける。（グループの区別がない） (3) 3人、3人、2人の3つのグループに分ける。

1. 問題の内容

8人の人を、以下の3つの場合に分けて、それぞれの場合の分け方の総数を求めます。

(1) A, B, C, Dの4つのグループに、2人ずつ分ける。

(2) 2人ずつの4つのグループに分ける。（グループの区別がない）

(3) 3人、3人、2人の3つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, Dの4つのグループに、2人ずつ分ける場合：

まず、Aのグループに入れる2人を8人の中から選びます。その選び方は $_8C_2$通りです。

次に、Bのグループに入れる2人を残りの6人の中から選びます。その選び方は $_6C_2$通りです。

次に、Cのグループに入れる2人を残りの4人の中から選びます。その選び方は $_4C_2$通りです。

最後に、Dのグループに入れる2人を残りの2人の中から選びます。その選び方は $_2C_2$通りです。

したがって、この場合の分け方の総数は、

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = \frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{8!}{2!2!2!2!} = \frac{40320}{16} = 2520$通りです。

(2) 2人ずつの4つのグループに分ける場合：

(1)で求めた分け方は、グループにA, B, C, Dという区別がある場合の分け方です。

グループに区別がない場合、A, B, C, Dのグループの並び順を考慮する必要がなくなります。4つのグループの並び順は $4!$通りあるので、(1)で求めた値を$4!$で割ることで、グループの区別がない場合の分け方を求めることができます。

したがって、この場合の分け方の総数は、

$\frac{2520}{4!} = \frac{2520}{24} = 105$通りです。

(3) 3人、3人、2人の3つのグループに分ける場合：

まず、3人のグループに入れる3人を8人の中から選びます。その選び方は $_8C_3$通りです。

次に、別の3人のグループに入れる3人を残りの5人の中から選びます。その選び方は $_5C_3$通りです。

最後に、2人のグループに入れる2人を残りの2人の中から選びます。その選び方は $_2C_2$通りです。

3人のグループが2つあるため、グループの区別をなくす必要があります。

したがって、この場合の分け方の総数は、

$\frac{_8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{8!}{3!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2!} = \frac{\frac{8!}{3!3!2!}}{2!} = \frac{\frac{40320}{36 \times 2}}{2} = \frac{560}{2} = 280$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り

(3) 280通り