三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 13 : 8 : 7$ が成り立つとき、角Aの値を求めよ。また、この三角形の外接円の半径が $\frac{13}{\sqrt{3}}$ であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 13 : 8 : 7$ が成り立つとき、角Aの値を求めよ。また、この三角形の外接円の半径が $\frac{13}{\sqrt{3}}$ であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ であるから、$a : b : c = 13 : 8 : 7$ となる。

したがって、$a = 13k, b = 8k, c = 7k$ (kは正の定数) と表せる。

次に、余弦定理を用いて $\cos A$ を求める。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(8k)^2 + (7k)^2 - (13k)^2}{2 \cdot 8k \cdot 7k}$

$\cos A = \frac{64k^2 + 49k^2 - 169k^2}{112k^2}$

$\cos A = \frac{-56k^2}{112k^2} = -\frac{1}{2}$

よって、$A = 120^{\circ}$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$ (Rは外接円の半径)

$\frac{13k}{\sin 120^{\circ}} = 2 \cdot \frac{13}{\sqrt{3}}$

$\frac{13k}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{26}{\sqrt{3}}$

$\frac{26k}{\sqrt{3}} = \frac{26}{\sqrt{3}}$

よって、$k = 1$

したがって、$a = 13, b = 8, c = 7$

三角形ABCの面積Sは

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 \cdot \sin 120^{\circ}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 14\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$A = 120^{\circ}$

三角形ABCの面積は $14\sqrt{3}$