$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$のとき、次の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3y + xy^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$のとき、次の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3y + xy^3$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

(1) $x+y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $xy = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$

(4) $x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{5}$

(2) $xy = \frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = 4$

(4) $x^3y + xy^3 = 2$