2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha\beta$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha\beta$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

が成り立つ。

(1) $\alpha + \beta$ について

与えられた2次方程式は $x^2 + 3x - 1 = 0$ であるから、$a=1$, $b=3$, $c=-1$ である。したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$

(2) $\alpha\beta$ について

$\alpha\beta = \frac{-1}{1} = -1$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$ について

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

であるから、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha + \beta = -3$, $\alpha\beta = -1$ を代入して、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-3)^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = -3$

(2) $\alpha\beta = -1$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = 11$