数列 $\{a_n\}$ は初項が 2、公比が 5 の等比数列である。このとき、$a_1 + a_2 + \dots + a_n \ge 10^{200}$ を満たす最小の $n$ を求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項が 2、公比が 5 の等比数列である。このとき、$a_1 + a_2 + \dots + a_n \ge 10^{200}$ を満たす最小の $n$ を求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 2 \cdot 5^{n-1}$ である。

この数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$$S_n = \frac{2(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{2(5^n - 1)}{4} = \frac{5^n - 1}{2}$$

である。

条件 $S_n \ge 10^{200}$ より、

$$\frac{5^n - 1}{2} \ge 10^{200}$$

$$5^n - 1 \ge 2 \cdot 10^{200}$$

$5^n$ が非常に大きいので、$-1$ を無視して近似すると、

$$5^n \ge 2 \cdot 10^{200}$$

両辺の常用対数をとると、

$$\log_{10} 5^n \ge \log_{10} (2 \cdot 10^{200})$$

$$n \log_{10} 5 \ge \log_{10} 2 + \log_{10} 10^{200}$$

$$n \log_{10} 5 \ge \log_{10} 2 + 200$$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$ であるから、

$$n \cdot 0.6990 \ge 0.3010 + 200$$

$$n \cdot 0.6990 \ge 200.3010$$

$$n \ge \frac{200.3010}{0.6990} = \frac{2003010}{6990} \approx 286.5536$$

したがって、最小の整数 $n$ は 287 である。

3. 最終的な答え

287