(1) $f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$ が成り立つことを示し、特に $f$ が単射ならば、$f(P_1 \cap P_2) \supset f(P_1) \cap f(P_2)$ も成り立つことを示します。 (2) $f(A - P) \supset f(A) - f(P)$ が成り立つことを示し、特に $f$ が単射ならば、$f(A - P) \subset f(A) - f(P)$ も成り立つことを示します。 (3) $f^{-1}(f(P)) \supset P$ が成り立つことを示し、特に $f$ が単射ならば、$f^{-1}(f(P)) \subset P$ も成り立つことを示します。 (4) $f(f^{-1}(Q)) \subset Q$ が成り立つことを示し、特に $f$ が全射ならば、$f(f^{-1}(Q)) \supset Q$ も成り立つことを示します。

## 問題の解答

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1. 問題の内容

1. 集合 $A, B$ と写像 $f: A \rightarrow B$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。ここで、$P, P_1, P_2$ は $A$ の部分集合、$Q$ は $B$ の部分集合です。

(1) $f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$ が成り立つことを示し、特に $f$ が単射ならば、$f(P_1 \cap P_2) \supset f(P_1) \cap f(P_2)$ も成り立つことを示します。

(2) $f(A - P) \supset f(A) - f(P)$ が成り立つことを示し、特に $f$ が単射ならば、$f(A - P) \subset f(A) - f(P)$ も成り立つことを示します。

(3) $f^{-1}(f(P)) \supset P$ が成り立つことを示し、特に $f$ が単射ならば、$f^{-1}(f(P)) \subset P$ も成り立つことを示します。

(4) $f(f^{-1}(Q)) \subset Q$ が成り立つことを示し、特に $f$ が全射ならば、$f(f^{-1}(Q)) \supset Q$ も成り立つことを示します。

2. 4つの元からなる集合 $A = \{x, y, z, w\}$ と3つの元からなる集合 $B = \{1, 2, 3\}$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) $f(P_1 \cap P_2) \subsetneq f(P_1) \cap f(P_2)$ となる $A$ の部分集合 $P_1, P_2$ と写像 $f: A \rightarrow B$ の具体例を挙げます。

(2) $f(A - P) \supsetneq f(A) - f(P)$ となる $A$ の部分集合 $P$ と写像 $f: A \rightarrow B$ の具体例を挙げます。

(3) $f^{-1}(f(P)) \supsetneq P$ となる $A$ の部分集合 $P$ と写像 $f: A \rightarrow B$ の具体例を挙げます。

(4) $f(f^{-1}(Q)) \subsetneq Q$ となる $B$ の部分集合 $Q$ と写像 $f: A \rightarrow B$ の具体例を挙げます。

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2. 解き方の手順

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1. (1) $f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$ の証明**

* $y \in f(P_1 \cap P_2)$ と仮定します。

* このとき、$x \in P_1 \cap P_2$ が存在して、$f(x) = y$ となります。

* $x \in P_1 \cap P_2$ なので、$x \in P_1$ かつ $x \in P_2$ が成り立ちます。

* したがって、$f(x) \in f(P_1)$ かつ $f(x) \in f(P_2)$ が成り立ちます。

* よって、$f(x) = y \in f(P_1) \cap f(P_2)$ となります。

* したがって、$f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$ が成り立ちます。

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1. (1) $f$ が単射ならば、$f(P_1 \cap P_2) \supset f(P_1) \cap f(P_2)$ の証明**

* $y \in f(P_1) \cap f(P_2)$ と仮定します。

* このとき、$y \in f(P_1)$ かつ $y \in f(P_2)$ が成り立ちます。

* したがって、$x_1 \in P_1$ と $x_2 \in P_2$ が存在して、$f(x_1) = y$ かつ $f(x_2) = y$ となります。

* $f$ は単射なので、$f(x_1) = f(x_2) = y$ ならば、$x_1 = x_2$ が成り立ちます。

* したがって、$x_1 = x_2 \in P_1 \cap P_2$ が成り立ちます。

* よって、$y = f(x_1) = f(x_2) \in f(P_1 \cap P_2)$ となります。

* したがって、$f(P_1) \cap f(P_2) \subset f(P_1 \cap P_2)$ が成り立ちます。

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1. (2) $f(A - P) \supset f(A) - f(P)$ の証明**

* $y \in f(A) - f(P)$ と仮定します。

* このとき、$y \in f(A)$ かつ $y \notin f(P)$ が成り立ちます。

* $y \in f(A)$ なので、$x \in A$ が存在して、$f(x) = y$ となります。

* $y \notin f(P)$ なので、$x \notin P$ が成り立ちます。（もし $x \in P$ ならば、$f(x) = y \in f(P)$ となり、$y \notin f(P)$ に矛盾します。）

* したがって、$x \in A - P$ が成り立ちます。

* よって、$y = f(x) \in f(A - P)$ となります。

* したがって、$f(A) - f(P) \subset f(A - P)$ が成り立ちます。

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1. (2) $f$ が単射ならば、$f(A - P) \subset f(A) - f(P)$ の証明**

* $y \in f(A - P)$ と仮定します。

* このとき、$x \in A - P$ が存在して、$f(x) = y$ となります。

* $x \in A - P$ なので、$x \in A$ かつ $x \notin P$ が成り立ちます。

* したがって、$f(x) = y \in f(A)$ が成り立ちます。

* また、$x \notin P$ であり、$f$ は単射なので、$f(x) = y \notin f(P)$ が成り立ちます。

* したがって、$y \in f(A) - f(P)$ が成り立ちます。

* よって、$f(A - P) \subset f(A) - f(P)$ が成り立ちます。

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1. (3) $f^{-1}(f(P)) \supset P$ の証明**

* $x \in P$ と仮定します。

* このとき、$f(x) \in f(P)$ が成り立ちます。

* したがって、$x \in f^{-1}(f(P))$ が成り立ちます。

* よって、$P \subset f^{-1}(f(P))$ が成り立ちます。

**

1. (3) $f$ が単射ならば、$f^{-1}(f(P)) \subset P$ の証明**

* $x \in f^{-1}(f(P))$ と仮定します。

* このとき、$f(x) \in f(P)$ が成り立ちます。

* したがって、$y \in P$ が存在して、$f(y) = f(x)$ となります。

* $f$ は単射なので、$f(x) = f(y)$ ならば、$x = y$ が成り立ちます。

* したがって、$x = y \in P$ が成り立ちます。

* よって、$f^{-1}(f(P)) \subset P$ が成り立ちます。

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1. (4) $f(f^{-1}(Q)) \subset Q$ の証明**

* $y \in f(f^{-1}(Q))$ と仮定します。

* このとき、$x \in f^{-1}(Q)$ が存在して、$f(x) = y$ となります。

* $x \in f^{-1}(Q)$ なので、$f(x) \in Q$ が成り立ちます。

* したがって、$y = f(x) \in Q$ が成り立ちます。

* よって、$f(f^{-1}(Q)) \subset Q$ が成り立ちます。

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1. (4) $f$ が全射ならば、$f(f^{-1}(Q)) \supset Q$ の証明**

* $y \in Q$ と仮定します。

* $f$ は全射なので、$x \in A$ が存在して、$f(x) = y$ となります。

* したがって、$y = f(x) \in Q$ なので、$x \in f^{-1}(Q)$ が成り立ちます。

* よって、$y = f(x) \in f(f^{-1}(Q))$ が成り立ちます。

* したがって、$Q \subset f(f^{-1}(Q))$ が成り立ちます。

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2. (1) $f(P_1 \cap P_2) \subsetneq f(P_1) \cap f(P_2)$ の具体例**

* $A = \{x, y, z, w\}$, $B = \{1, 2, 3\}$

* $P_1 = \{x, y\}$, $P_2 = \{y, z\}$

* $f(x) = 1$, $f(y) = 2$, $f(z) = 2$, $f(w) = 3$

* $P_1 \cap P_2 = \{y\}$ なので、$f(P_1 \cap P_2) = \{2\}$

* $f(P_1) = \{1, 2\}$, $f(P_2) = \{2\}$ なので、$f(P_1) \cap f(P_2) = \{2\}$

* $f(P_1 \cap P_2) = \{2\} \subsetneq \{2,2\}$

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2. (2) $f(A - P) \supsetneq f(A) - f(P)$ の具体例**

* $A = \{x, y, z, w\}$, $B = \{1, 2, 3\}$

* $P = \{x, y\}$

* $f(x) = 1$, $f(y) = 1$, $f(z) = 2$, $f(w) = 3$

* $A - P = \{z, w\}$ なので、$f(A - P) = \{2, 3\}$

* $f(A) = \{1, 2, 3\}$, $f(P) = \{1\}$ なので、$f(A) - f(P) = \{2, 3\}$

* $f(A - P) \supsetneq f(A) - f(P) = \{2,3\} \subsetneq \{1, 2, 3\} - \{1\}$

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2. (3) $f^{-1}(f(P)) \supsetneq P$ の具体例**

* $A = \{x, y, z, w\}$, $B = \{1, 2, 3\}$

* $P = \{x\}$

* $f(x) = 1$, $f(y) = 1$, $f(z) = 2$, $f(w) = 3$

* $f(P) = \{1\}$ なので、$f^{-1}(f(P)) = f^{-1}(\{1\}) = \{x, y\}$

* $f^{-1}(f(P)) = \{x, y\} \supsetneq P = \{x\}$

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2. (4) $f(f^{-1}(Q)) \subsetneq Q$ の具体例**

* $A = \{x, y, z, w\}$, $B = \{1, 2, 3\}$

* $Q = \{1, 2\}$

* $f(x) = 1$, $f(y) = 2$, $f(z) = 3$, $f(w) = 3$

* $f^{-1}(Q) = \{x, y\}$ なので、$f(f^{-1}(Q)) = \{1, 2\}$

* $f(f^{-1}(Q)) = \{1, 2\} \subsetneq Q = \{1,2\}$

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3. 最終的な答え

1. (1) $f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$ (証明は上記参照)

$f$ が単射ならば、$f(P_1 \cap P_2) \supset f(P_1) \cap f(P_2)$ (証明は上記参照)

(2) $f(A - P) \supset f(A) - f(P)$ (証明は上記参照)

$f$ が単射ならば、$f(A - P) \subset f(A) - f(P)$ (証明は上記参照)

(3) $f^{-1}(f(P)) \supset P$ (証明は上記参照)

$f$ が単射ならば、$f^{-1}(f(P)) \subset P$ (証明は上記参照)

(4) $f(f^{-1}(Q)) \subset Q$ (証明は上記参照)

$f$ が全射ならば、$f(f^{-1}(Q)) \supset Q$ (証明は上記参照)

2. (1) $P_1 = \{x, y\}$, $P_2 = \{y, z\}$, $f(x) = 1$, $f(y) = 2$, $f(z) = 2$, $f(w) = 3$

(2) $P = \{x, y\}$, $f(x) = 1$, $f(y) = 1$, $f(z) = 2$, $f(w) = 3$

(3) $P = \{x\}$, $f(x) = 1$, $f(y) = 1$, $f(z) = 2$, $f(w) = 3$

(4) $Q = \{1, 2\}$, $f(x) = 1$, $f(y) = 2$, $f(z) = 3$, $f(w) = 3$