複素数 $z$ （$z \ne i$）に対し、複素数 $w$ を $w = \frac{z+i}{z-i}$ で定める。 複素数平面上において、点 $z$ が以下の図形上を動くとき、点 $w$ はどのような図形を描くか、また、その図形を複素数平面上に図示せよ。 (1) 原点を中心とする半径1の円 (2) 点 $-i$ を中心とする半径1の円

1. 問題の内容

複素数 $z$ （$z \ne i$）に対し、複素数 $w$ を $w = \frac{z+i}{z-i}$ で定める。

複素数平面上において、点 $z$ が以下の図形上を動くとき、点 $w$ はどのような図形を描くか、また、その図形を複素数平面上に図示せよ。

(1) 原点を中心とする半径1の円

(2) 点 $-i$ を中心とする半径1の円

2. 解き方の手順

(1)

$z$ が原点を中心とする半径1の円上を動くとき、$|z| = 1$ である。

$w = \frac{z+i}{z-i}$ より、$w(z-i) = z+i$

$wz - wi = z+i$

$wz - z = wi + i$

$z(w-1) = i(w+1)$

$z = i\frac{w+1}{w-1}$

$|z| = 1$ より、$|i\frac{w+1}{w-1}| = 1$

$|i| \cdot |\frac{w+1}{w-1}| = 1$

$1 \cdot |\frac{w+1}{w-1}| = 1$

$|w+1| = |w-1|$

$w = x+yi$ とおくと、$|x+yi+1| = |x+yi-1|$

$|(x+1)+yi| = |(x-1)+yi|$

$\sqrt{(x+1)^2+y^2} = \sqrt{(x-1)^2+y^2}$

$(x+1)^2+y^2 = (x-1)^2+y^2$

$x^2+2x+1+y^2 = x^2-2x+1+y^2$

$4x = 0$

$x = 0$

したがって、$w$ は虚軸上を動く。

(2)

$z$ が点 $-i$ を中心とする半径1の円上を動くとき、$|z+i| = 1$ である。

$w = \frac{z+i}{z-i}$ より、$z+i = w(z-i)$

$z+i = wz - wi$

$z - wz = -i - wi$

$z(1-w) = -i(1+w)$

$z = -i\frac{1+w}{1-w} = i\frac{1+w}{w-1}$

$|z+i| = 1$ より、$|i\frac{1+w}{w-1} + i| = 1$

$|i(\frac{1+w}{w-1} + 1)| = 1$

$|i(\frac{1+w+w-1}{w-1})| = 1$

$|i\frac{2w}{w-1}| = 1$

$|i| \cdot |\frac{2w}{w-1}| = 1$

$|\frac{2w}{w-1}| = 1$

$|2w| = |w-1|$

$|2(x+yi)| = |x+yi-1|$

$|2x+2yi| = |(x-1)+yi|$

$\sqrt{(2x)^2+(2y)^2} = \sqrt{(x-1)^2+y^2}$

$4x^2+4y^2 = x^2-2x+1+y^2$

$3x^2+3y^2+2x-1 = 0$

$x^2+y^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3} = 0$

$(x+\frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{1}{9}+\frac{1}{3} = \frac{4}{9}$

これは、中心が $-\frac{1}{3}$、半径が $\frac{2}{3}$ の円である。

3. 最終的な答え

(1) $w$ は虚軸上を動く。

(2) $w$ は中心 $-\frac{1}{3}$、半径 $\frac{2}{3}$ の円を描く。