問題92の(4), (5), (6)について、与えられた命題の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べる。

1. 問題の内容

問題92の(4), (5), (6)について、与えられた命題の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べる。

2. 解き方の手順

(4)

元の命題: $n$は3の倍数 $\implies$ $n$は9の倍数

逆: $n$は9の倍数 $\implies$ $n$は3の倍数

真。9の倍数は必ず3の倍数である。

対偶: $n$は9の倍数でない $\implies$ $n$は3の倍数でない

真。元の命題が偽ならば対偶も偽、元の命題が真ならば対偶も真。

元の命題の真偽をまず考える。

$n$が3の倍数ならば$n=3k$（$k$は整数）と表せる。このとき、$n$が9の倍数とは限らないので、元の命題は偽。例えば、$n=3$は3の倍数だが、9の倍数ではない。したがって、対偶は偽。

裏: $n$は3の倍数でない $\implies$ $n$は9の倍数でない

偽。例えば、$n=6$は3の倍数ではないが、9の倍数ではない。しかし、$n=12$は3の倍数ではないが、9の倍数ではない。

別の例として、$n=3$は3の倍数ではないが、$n=3$は9の倍数ではない。$n=6$は3の倍数ではないが、$n=6$は9の倍数ではない。

$n=10$は3の倍数ではないし9の倍数でもない。

(5)

元の命題: $m+n$は偶数 $\implies$ $m, n$の少なくとも一方は偶数

逆: $m, n$の少なくとも一方は偶数 $\implies$ $m+n$は偶数

偽。例えば、$m=1, n=2$とすると、$m+n=3$は奇数。

対偶: $m, n$はどちらも奇数 $\implies$ $m+n$は奇数

真。$m=2k+1, n=2l+1$とすると、$m+n = 2k+1 + 2l+1 = 2(k+l+1)$となり偶数となる。よって対偶は偽。

裏: $m+n$は奇数 $\implies$ $m, n$はどちらも奇数ではない

真。$m+n$が奇数ということは、$m, n$のどちらか一方は奇数、もう一方は偶数。つまり、$m, n$はどちらも奇数ではない。よって裏は真。

(6)

元の命題: 積$mn$は奇数 $\implies$ $m, n$はともに奇数

逆: $m, n$はともに奇数 $\implies$ 積$mn$は奇数

真。$m=2k+1, n=2l+1$とすると、$mn=(2k+1)(2l+1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1$となり奇数である。

対偶: $m, n$の少なくとも一方が偶数 $\implies$ 積$mn$は偶数

真。$m$が偶数であれば、$m=2k$なので$mn = 2kn$となり、$mn$は偶数。同様に、$n$が偶数でも$mn$は偶数。

裏: 積$mn$は偶数 $\implies$ $m, n$の少なくとも一方は偶数

真。元の命題が真なので、裏も真。

3. 最終的な答え

(4)

逆: 真

対偶: 偽

裏: 偽

(5)

逆: 偽

対偶: 偽

裏: 真

(6)

逆: 真

対偶: 真

裏: 真