関数 $y = x^2 - 2x - 3$ の $-2 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x - 3$ の $-2 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x - 3$

$y = (x - 1)^2 - 1 - 3$

$y = (x - 1)^2 - 4$

このグラフは、頂点が $(1, -4)$ の下に凸の放物線です。

次に、定義域 $-2 \le x \le 5$ における関数の値を考えます。

$x = 1$ のとき、$y = -4$ (最小値の候補)

$x = -2$ のとき、$y = (-2 - 1)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

$x = 5$ のとき、$y = (5 - 1)^2 - 4 = 16 - 4 = 12$ (最大値の候補)

$x = 1$ は定義域に含まれるので、最小値は $y = -4$ です。

$x = 5$ のとき、$y = 12$ となり、これは $x = -2$ のときの値よりも大きいので、最大値は $y = 12$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $12$ ($x = 5$ のとき)

最小値: $-4$ ($x = 1$ のとき)