a, b, c, d, e の5人の体重について、以下の条件が与えられています。 * a < c かつ b < a * a + d = b + e * c = (a + d) / 2 これらの条件の下で、以下の選択肢のうち、確実に言えるものはどれか？ * aの体重は2番目に軽い * bの体重は全員の体重の平均に等しい * cより体重が重い人は1人だけである * dは最も体重が重い * eは最も体重が軽い

1. 問題の内容

a, b, c, d, e の5人の体重について、以下の条件が与えられています。

* a < c かつ b < a

* a + d = b + e

* c = (a + d) / 2

これらの条件の下で、以下の選択肢のうち、確実に言えるものはどれか？

* aの体重は2番目に軽い

* bの体重は全員の体重の平均に等しい

* cより体重が重い人は1人だけである

* dは最も体重が重い

* eは最も体重が軽い

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を整理します。

1. $b < a < c$

2. $a + d = b + e$

3. $c = \frac{a + d}{2}$

条件2より、$d = b + e - a$が得られます。これを条件3に代入すると、

$c = \frac{a + b + e - a}{2} = \frac{b + e}{2}$となります。

よって、$2c = b + e$が得られます。

条件1より、$b<a<c$ですから、 $c>b$です。

$2c = b+e$を整理すると、$e = 2c - b$となります。

$c > b$であることから、$2c > 2b$となります。よって、$2c - b > 2b - b = b$となり、$e > b$であることがわかります。

また、$2c = b + e$より、$e-c = c-b$がわかります。

これを数直線で考えると、$b$と$e$は$c$に対して対称な位置にあり、$c$は$b$と$e$の中点です。

次に、選択肢を検討します。

* aの体重は2番目に軽い：$b < a < c$は分かっていますが、$d$と$e$との比較ができていないため、確定できません。

* bの体重は全員の体重の平均に等しい：これは一般には成り立ちません。

* cより体重が重い人は1人だけである：$c = \frac{a+d}{2}$であり、$a<c$なので、$c<d$であることがわかります。 $d>c>a>b$ かつ $e>b$ がわかっています。$d$と$e$の大小関係は不明です。例えば$e>d$のとき、$c$より体重が重い人は$d$と$e$の2人になります。したがって、これは確定できません。

* dは最も体重が重い：$c < d$はわかっていますが、$e$との比較ができていないため、確定できません。

* eは最も体重が軽い：$b < a < c$ かつ $e > b$ なので$e$は最も軽いとは限りません。

条件1, 2, 3より$c = (b+e)/2$が導けます。

また、$b < a < c < d$が導けます。

ここで、$a + d = b + e$より、$e = a + d - b$

$c = (a+d)/2$より、$2c = a+d$

$e = 2c - b$

$b < a < c$で、$e > b$であり、$d > c$である。

$c$より体重が重い人が1人だけである場合を考える。

$d > c$なので$d$は$c$より重い。したがって、$d$が最も重い場合、$c < d < e$とならなければならない。

$c$より体重が重い人が1人だけである、つまり$d$が最も体重が重いと仮定すると、$d>c$かつ$d>e$です。$e=2c-b$なので、$d>2c-b$である必要があります。また、$a+d=b+e$より、$d=b+e-a = b+2c-b-a = 2c-a$です。$b0$です。また、$d>e$なので$d>2c-b$, $d>c$は満たします。

この時、$c$より体重が重い人は$d$のみとなります。

したがって、$c$より体重が重い人は1人だけである　が正しいことがわかります。

3. 最終的な答え

cより体重が重い人は1人だけである