与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。連立方程式は行列形式で表されており、$x, y, z$ に関する以下の式を解く必要があります。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。連立方程式は行列形式で表されており、$x, y, z$ に関する以下の式を解く必要があります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を行列で表すと、以下のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$

この連立方程式を解くために、ガウスの消去法または掃き出し法を用いることができます。拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & a & 1 & 5 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を行い、行列を簡約化します。

2行目から1行目を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - R_1$):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -4 & -2 & -5 \\ 1 & a & 1 & 5 \end{pmatrix}$

3行目から1行目を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - R_1$):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -4 & -2 & -5 \\ 0 & a-2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3行目の式 $(a-2)y = 0$ から、$a \neq 2$のとき、$y=0$となります。

$a=2$の時、$0=0$となり、$y$は任意の値を取ることが出来ます。

$y=0$を2行目の式$-4y-2z=-5$に代入すると、$z = \frac{5}{2}$が得られます。

1行目の式$x + 2y + z = 5$に$y=0$と$z=\frac{5}{2}$を代入すると、$x + 0 + \frac{5}{2} = 5$より、$x = \frac{5}{2}$となります。

したがって、 $a \neq 2$の場合、$x = \frac{5}{2}, y = 0, z = \frac{5}{2}$ となります。

$a=2$の場合、3行目は常に0となり、変数は$x,y,z$の3つに対し、方程式が2つになるため、解は無数に存在します。

2行目の式より、$4y+2z=5$となり、$z=\frac{5-4y}{2}$

1行目の式より、$x+2y+\frac{5-4y}{2}=5$, $2x+4y+5-4y=10$, $2x=5$, $x=\frac{5}{2}$

よって、$x=\frac{5}{2}, z=\frac{5-4y}{2}$となります。

3. 最終的な答え

$a \neq 2$のとき、解は $x = \frac{5}{2}, y = 0, z = \frac{5}{2}$です。

$a=2$のとき、解は $x = \frac{5}{2}, z=\frac{5-4y}{2}$（$y$は任意）です。