与えられた同次1次連立方程式が非自明解を持つかどうかを調べる問題です。 連立方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} x + 3y - 2z = 0 \\ 2x - 3y + z = 0 \\ 3x - 2y + 2z = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた同次1次連立方程式が非自明解を持つかどうかを調べる問題です。

連立方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

x + 3y - 2z = 0 \\

2x - 3y + z = 0 \\

3x - 2y + 2z = 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式の係数行列を作成し、その行列式を計算します。行列式が0であれば非自明解を持ち、0でなければ自明解のみを持ちます。

係数行列 $A$ は次のようになります。

$$

A = \begin{pmatrix}

1 & 3 & -2 \\

2 & -3 & 1 \\

3 & -2 & 2

\end{pmatrix}

$$

行列式 $det(A)$ を計算します。

$$

det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}

$$

$$

det(A) = 1 \cdot ((-3) \cdot 2 - 1 \cdot (-2)) - 3 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) - 2 \cdot (2 \cdot (-2) - (-3) \cdot 3)

$$

$$

det(A) = 1 \cdot (-6 + 2) - 3 \cdot (4 - 3) - 2 \cdot (-4 + 9)

$$

$$

det(A) = 1 \cdot (-4) - 3 \cdot (1) - 2 \cdot (5)

$$

$$

det(A) = -4 - 3 - 10

$$

$$

det(A) = -17

$$

行列式 $det(A)$ は -17 であり、0ではありません。したがって、この連立方程式は自明解 $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ のみを持つことがわかります。

3. 最終的な答え

この連立方程式は非自明解を持ちません。自明解 $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ のみを持つ。