(1) $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} - 2\sqrt{4+\sqrt{15}}$ を計算する問題。 (2) $\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値と $a^2 - \frac{1}{a^2}$ の値を求める問題。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} - 2\sqrt{4+\sqrt{15}}$ を計算する問題。

(2) $\sqrt{6+4\sqrt{2}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値と $a^2 - \frac{1}{a^2}$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ を計算するために分母の有理化を行います。

$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5}$

$= \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{6}}$

$= \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{\sqrt{6}}$

$= \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\sqrt{6}}{6}$

$= \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{30})}{6}$

$= \frac{2\sqrt{3}(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{30})}{6}$

$= \frac{2(6+3\sqrt{6}+\sqrt{90})}{6}$

$= \frac{2(6+3\sqrt{6}+3\sqrt{10})}{6}$

$= \frac{6+3\sqrt{6}+3\sqrt{10}}{3}$

$= 2+\sqrt{6}+\sqrt{10}$

次に、$2\sqrt{4+\sqrt{15}}$ を計算します。

$2\sqrt{4+\sqrt{15}} = 2\sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}} = 2\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2}} = 2\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = \sqrt{10}+\sqrt{6}$

したがって、$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} - 2\sqrt{4+\sqrt{15}} = (2+\sqrt{6}+\sqrt{10}) - (\sqrt{10}+\sqrt{6}) = 2$

(2)

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{6+2\sqrt{8}} = \sqrt{4+2+2\sqrt{4\cdot 2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} = 2+\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ は $1 < \sqrt{2} < 2$ であるから、$2+1 < 2+\sqrt{2} < 2+2$ より $3 < 2+\sqrt{2} < 4$

整数部分は3なので、小数部分 $a = (2+\sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2}-1$

$a^2 - \frac{1}{a^2} = (a - \frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})$

$a+\frac{1}{a} = (\sqrt{2}-1) + \frac{1}{\sqrt{2}-1} = (\sqrt{2}-1) + \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}$

$a-\frac{1}{a} = (\sqrt{2}-1) - (\sqrt{2}+1) = -2$

$a^2 - \frac{1}{a^2} = (-2)(2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $a = \sqrt{2}-1$, $a^2 - \frac{1}{a^2} = -4\sqrt{2}$