0 < x ≤ y ≤ z を満たす整数 $x$, $y$, $z$ について、以下の問題を解く。 (1) $xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 5$ を満たす整数 $x$, $y$, $z$ の組をすべて求めよ。 (2) $xyz = x + y + z$ を満たす整数 $x$, $y$, $z$ の組をすべて求めよ。

1. 問題の内容

0 < x ≤ y ≤ z を満たす整数 $x$, $y$, $z$ について、以下の問題を解く。

(1) $xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 5$ を満たす整数 $x$, $y$, $z$ の組をすべて求めよ。

(2) $xyz = x + y + z$ を満たす整数 $x$, $y$, $z$ の組をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 5$ を変形する。

$xyz + x + y + z - xy - yz - zx = 5$

$xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1 = 4$

$(x-1)(y-1)(z-1) = 4$

$0 < x \le y \le z$ であるから、$x-1 \ge 0$, $y-1 \ge -1$, $z-1 \ge -1$.

$(x-1), (y-1), (z-1)$ の積が4になる組み合わせを考える。

$x, y, z$ は整数であるから、$x-1, y-1, z-1$ も整数である。

* $x-1=1, y-1=1, z-1=4$ のとき、$x=2, y=2, z=5$. これは $x \le y \le z$ を満たす。

* $x-1=1, y-1=2, z-1=2$ のとき、$x=2, y=3, z=3$. これは $x \le y \le z$ を満たす。

* $x-1=2, y-1=2, z-1=1$のとき、$x=3, y=3, z=2$. これは $x \le y \le z$ を満たさない。

したがって、$(x, y, z) = (2, 2, 5), (2, 3, 3)$.

(2) $xyz = x + y + z$ を満たす整数 $x, y, z$ の組を求める。

$0 < x \le y \le z$ であるから、$xyz = x + y + z \le 3z$。

よって、$xy \le 3$.

$0 < x \le y$ より、$x=1$ または $x=2$ または $x=3$

* $x=1$ のとき、$yz = 1 + y + z$. よって、$yz - y - z = 1$. これを変形して、$yz - y - z + 1 = 2$. すなわち、$(y-1)(z-1) = 2$.

$y-1=1, z-1=2$ のとき、$y=2, z=3$.

$y-1=2, z-1=1$ のとき、$y=3, z=2$. ($y \le z$を満たさない)

したがって、$(x, y, z) = (1, 2, 3)$.

* $x=2$ のとき、$2yz = 2 + y + z$. よって、$4yz = 4 + 2y + 2z$. さらに、$4yz - 2y - 2z + 1 = 5$.

よって、$(2y-1)(2z-1) = 5$.

$2y-1=1, 2z-1=5$ のとき、$y=1, z=3$. これは、$x \le y$ を満たさない。

* $x=3$ のとき、$3yz = 3 + y + z$.

$y=1$ はありえないので、$y \ge x$より $y \ge 3$.

$3yz = 3 + y + z \le 3 + 2z$.

よって、$3yz \le 3 + 2z$ となり、$3y \le \frac{3}{z} + 2 \le \frac{3}{3}+2 = 3$.

よって、$y=1$. これは、$y \ge x$に矛盾。

したがって、$(x, y, z) = (1, 2, 3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (2, 2, 5), (2, 3, 3)$

(2) $(x, y, z) = (1, 2, 3)$