$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ が有理数であると仮定する。

このとき、$\frac{1+2\sqrt{6}}{3} = r$ （$r$ は有理数）とおける。

この式を変形して、$\sqrt{6}$ が有理数で表せることを示す。

両辺に3をかけると、

$1+2\sqrt{6} = 3r$

$2\sqrt{6} = 3r - 1$

$\sqrt{6} = \frac{3r - 1}{2}$

ここで、$r$ は有理数なので、$3r-1$ も有理数である。

また、$2$ は有理数なので、$\frac{3r-1}{2}$ も有理数である。

したがって、$\sqrt{6}$ は有理数となる。

これは $\sqrt{6}$ が無理数であるという仮定に矛盾する。

よって、$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ は無理数である。