与えられた漸化式 $x_0 = x_1 = 3, x_{n+1} = x_n + 2x_{n-1} (n \geq 1)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\begin{bmatrix} x_n \\ x_{n} \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ x_{n} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x_{n} \\ x_{n-1} \end{bmatrix}$ となるように行列 $A$ を求めます。 (2) 行列 $A$ を対角化し、$A^n$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $x_0 = x_1 = 3, x_{n+1} = x_n + 2x_{n-1} (n \geq 1)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\begin{bmatrix} x_n \\ x_{n} \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ x_{n} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x_{n} \\ x_{n-1} \end{bmatrix}$ となるように行列 $A$ を求めます。

(2) 行列 $A$ を対角化し、$A^n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ を求める。

漸化式 $x_{n+1} = x_n + 2x_{n-1}$ を行列で表現するために、$\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ x_{n} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x_{n} \\ x_{n-1} \end{bmatrix}$ の形にします。

$x_{n+1} = x_n + 2x_{n-1}$ と $x_n = x_n$ より、行列 $A$ は $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ となります。

(2) 行列 $A$ を対角化し、$A^n$ を求める。

まず、$A$ の固有値を求めます。

$A$ の特性方程式は、$|A - \lambda I| = 0$ であり、

$| \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix} | = (1-\lambda)(-\lambda) - 2 = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-x + 2y = 0$ より、$x = 2y$ となり、$v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (または任意の定数倍)

$\lambda_2 = -1$ のとき、$(A - (-1)I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$ となり、$v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ (または任意の定数倍)

$P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

$A = PDP^{-1}$ であり、$A^n = PD^n P^{-1}$ となります。

$D^n = \begin{bmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{bmatrix}$

$A^n = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{bmatrix} \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2^{n+1} & (-1)^n \\ 2^n & -(-1)^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$

$A^n = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2^{n+1} + (-1)^n & 2^{n+1} - 2(-1)^n \\ 2^n - (-1)^n & 2^n + 2(-1)^n \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

(2) $A^n = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2^{n+1} + (-1)^n & 2^{n+1} - 2(-1)^n \\ 2^n - (-1)^n & 2^n + 2(-1)^n \end{bmatrix}$