与えられた4つの連立方程式を掃き出し法（基本変形）で解く問題です。 (1) $\begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + 3y + 2z = 4 \\ 6x + 5y + 6z = 12 \end{cases}$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{cases} 2x - y - z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \\ -x - y + 2z = 0 \end{cases}$ (4) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4つの連立方程式を掃き出し法（基本変形）で解く問題です。

(1) $\begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + 3y + 2z = 4 \\ 6x + 5y + 6z = 12 \end{cases}$

(2) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{cases} 2x - y - z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \\ -x - y + 2z = 0 \end{cases}$

(4) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 6 & 5 & 6 & 12 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。3行目から1行目の6倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の7倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x + z = 2$, $y = 0$となります。$z = t$とおくと、$x = 2 - t$, $y = 0$

(2) 拡大係数行列を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。3行目に1行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

最後の行より、$0 = 1$となるため、解なしです。

(3) 係数行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-1) - (-1)(-2-1) + (-1)(1+2) = 6 - 3 - 3 = 0$

したがって、自明な解以外の解を持つ可能性があります。

1行目の式を2倍し、2行目を加えます。また1行目の式を2倍し、3行目を加えます。

$\begin{cases} 2x - y - z = 0 \\ 3y - 3z = 0 \\ -3y + 3z = 0 \end{cases}$

$y = z$

$2x - y - y = 0$

$2x = 2y$

$x = y$

したがって、$x = y = z = t$

(4) 拡大係数行列を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 9 & 0 \\ -1 & 1 & -3 & 0 \\ 1 & -3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 0 \\ -1 & 1 & -3 & 0 \\ 2 & -1 & 9 & 0 \end{pmatrix}$

2行目に1行目を加えます。3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & -6 & 0 \\ 0 & 5 & 15 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を-1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 15 & 0 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x + 6z = 0$, $y + 3z = 0$

$x = -6z$, $y = -3z$

$z = t$とおくと、$x = -6t$, $y = -3t$, $z = t$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 - t, y = 0, z = t$ (tは任意の実数)

(2) 解なし

(3) $x = t, y = t, z = t$ (tは任意の実数)

(4) $x = -6t, y = -3t, z = t$ (tは任意の実数)