(1) 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3を全て使って8桁の整数を作るとき、整数は何個作れるか。 (2) LETTERの6文字を全て使って文字列を作るとき、文字列は何個作れるか。

1. 問題の内容

(1) 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3を全て使って8桁の整数を作るとき、整数は何個作れるか。

(2) LETTERの6文字を全て使って文字列を作るとき、文字列は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1)

8桁の整数を作る問題です。重複がある順列の問題として考えます。

全体の並べ方は8!通りですが、同じ数字が複数あるため、それらの並び替えの分だけ割る必要があります。

まず、全ての数字を並べる場合の数を計算します。

$\frac{8!}{2! \times 1! \times 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 3 \times 5 = 840$

しかし、1が先頭に来る場合は8桁の整数にならないので、この場合を除きます。

1が先頭に来る場合の数は、残りの7つの数字を並べる場合の数です。

$\frac{7!}{1! \times 1! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1) \times (1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

したがって、求める整数の個数は、

$840 - 210 = 630$個です。

(2)

LETTERの6文字を全て使って文字列を作る問題です。これも重複がある順列の問題として考えます。

LETTERの文字はLが1個、Eが2個、Tが2個、Rが1個です。

全体の並べ方は6!通りですが、同じ文字が複数あるため、それらの並び替えの分だけ割る必要があります。

$\frac{6!}{1! \times 2! \times 2! \times 1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (1)} = 6 \times 5 \times 6 = 180$

したがって、文字列の個数は180個です。

3. 最終的な答え

(1) 630個

(2) 180個