$45$ を $a$ と $b$ に分け、$a>b>1$ かつ $a$ と $b$ が互いに素であるという条件のもとで、$\phi(45) = \phi(a) \phi(b)$ が成り立つように、$a$, $b$, $\phi(a)$, $\phi(b)$, $\phi(45)$ を求めます。ここで $\phi(n)$ はオイラーの $\phi$ 関数です。

1. 問題の内容

$45$ を $a$ と $b$ に分け、$a>b>1$ かつ $a$ と $b$ が互いに素であるという条件のもとで、$\phi(45) = \phi(a) \phi(b)$ が成り立つように、$a$, $b$, $\phi(a)$, $\phi(b)$, $\phi(45)$ を求めます。ここで $\phi(n)$ はオイラーの $\phi$ 関数です。

2. 解き方の手順

まず、$45$ を素因数分解します。

$45 = 3^2 \times 5$

$a$ と $b$ は $1$ より大きく、互いに素なので、$a$ と $b$ はそれぞれ $3^2 = 9$ と $5$ になります。$a>b$ なので、$a=9$、$b=5$ となります。

次に、オイラーの $\phi$ 関数を計算します。

$\phi(9) = \phi(3^2) = 3^2 - 3^1 = 9 - 3 = 6$

$\phi(5) = 5 - 1 = 4$ （なぜなら、5は素数だから）

$\phi(45) = \phi(3^2 \times 5) = \phi(3^2) \times \phi(5) = 6 \times 4 = 24$

または、$\phi(45) = 45 (1 - \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{5}) = 45 \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = 15 \times 2 \times \frac{4}{5} = 30 \times \frac{4}{5} = 6 \times 4 = 24$

3. 最終的な答え

1. $a = 9$

2. $b = 5$

3. $\phi(a) = \phi(9) = 6$

4. $\phi(b) = \phi(5) = 4$

5. $\phi(45) = 24$