整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を、対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

元の命題の対偶を考える。

元の命題: $n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。

対偶: $n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である。

この対偶を証明する。

$n$ が偶数であると仮定する。このとき、$n = 2k$ (ただし、$k$ は整数) と表せる。

したがって、$n^2$ は

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

と表せる。ここで、$2k^2$ は整数であるから、$n^2$ は $2$ の倍数であり、偶数である。

したがって、$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数であるという対偶が真であることが証明できた。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。よって、$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。