(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ が無理数であることを示す。 (2) $p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q$ がすべて有理数であるとき、$p = q = 0$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ が無理数であることを示す。

(2) $p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q$ がすべて有理数であるとき、$p = q = 0$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{2}$ が無理数であることの証明：

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m$, $n$ を用いて $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ と表せる。

このとき、$2 = \frac{m^2}{n^2}$ より、$m^2 = 2n^2$。

したがって、$m^2$ は偶数であるから、$m$ も偶数である。

$m = 2k$ ($k$ は整数) とすると、$m^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2n^2$ より、$n^2 = 2k^2$。

したがって、$n^2$ は偶数であるから、$n$ も偶数である。

$m$ と $n$ がともに偶数であることは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{2}$ は無理数である。

$\sqrt[3]{3}$ が無理数であることの証明：

$\sqrt[3]{3}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m$, $n$ を用いて $\sqrt[3]{3} = \frac{m}{n}$ と表せる。

このとき、$3 = \frac{m^3}{n^3}$ より、$m^3 = 3n^3$。

したがって、$m^3$ は $3$ の倍数であるから、$m$ も $3$ の倍数である。

$m = 3k$ ($k$ は整数) とすると、$m^3 = (3k)^3 = 27k^3 = 3n^3$ より、$n^3 = 9k^3$。

したがって、$n^3$ は $3$ の倍数であるから、$n$ も $3$ の倍数である。

$m$ と $n$ がともに $3$ の倍数であることは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt[3]{3}$ は無理数である。

(2)

$p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q$ がすべて有理数であるとする。

$\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q = r$ ($r$ は有理数) とおく。

もし $q \neq 0$ であるとすると、$\sqrt[3]{3} = \frac{r - \sqrt{2}p}{q}$ となる。

$p$, $q$, $r$ は有理数であるから、もし $\sqrt{2}p$ が有理数であれば、$\frac{r - \sqrt{2}p}{q}$ も有理数となり、$\sqrt[3]{3}$ が有理数であることになり、(1)の結果と矛盾する。

したがって、$\sqrt{2}p$ は無理数であるはずである。

しかし、$p$ は有理数であり、$\sqrt{2}$ は無理数であるため、$\sqrt{2}p$ が無理数となるのは $p \neq 0$ の場合のみである。

ここで、$p=0$とすると、$\sqrt[3]{3}q = r$となり、$q \neq 0$とすると、$\sqrt[3]{3} = \frac{r}{q}$となるため、$\sqrt[3]{3}$が有理数であることになり矛盾する。したがって、$q=0$である必要がある。

同様に、$q=0$とすると、$\sqrt{2}p=r$となり、$p \neq 0$とすると、$\sqrt{2} = \frac{r}{p}$となるため、$\sqrt{2}$が有理数であることになり矛盾する。したがって、$p=0$である必要がある。

もし $p \neq 0$ かつ $q \neq 0$ ならば、$\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q$ は無理数となる。しかし、$\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q$ は有理数であると仮定されているので矛盾する。

したがって、$p = 0$ かつ $q = 0$ でなければならない。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ は無理数である。(証明は上記参照)

(2) $p = q = 0$