集合 $S = \{35m + 21n \mid m, n \text{は整数}\}$ が与えられている。以下の問いに答えよ。 (1) $S$ の要素は $7$ の倍数であることを示せ。 (2) $7$ は $S$ の要素であることを示せ。 (3) $k$ を整数とするとき、$7k$ は $S$ の要素であることを示せ。 (4) $x$ 座標、$y$ 座標ともに整数である点 $(m, n)$ と直線 $y = -\frac{5}{3}x + \frac{55}{7}$ との距離の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

集合 $S = \{35m + 21n \mid m, n \text{は整数}\}$ が与えられている。以下の問いに答えよ。

(1) $S$ の要素は $7$ の倍数であることを示せ。

(2) $7$ は $S$ の要素であることを示せ。

(3) $k$ を整数とするとき、$7k$ は $S$ の要素であることを示せ。

(4) $x$ 座標、$y$ 座標ともに整数である点 $(m, n)$ と直線 $y = -\frac{5}{3}x + \frac{55}{7}$ との距離の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S$ の要素は $35m + 21n$ で表される。ここで、$35m = 7(5m)$ かつ $21n = 7(3n)$ であるから、$35m + 21n = 7(5m + 3n)$ となる。$m, n$ は整数なので、$5m + 3n$ も整数である。したがって、$35m + 21n$ は $7$ の倍数である。

(2) $7$ を $S$ の要素として表したい。つまり、$35m + 21n = 7$ となる整数 $m, n$ を見つければよい。

$35m + 21n = 7$ を $7$ で割ると、$5m + 3n = 1$ となる。

例えば、$m = 2, n = -3$ とすれば、$5(2) + 3(-3) = 10 - 9 = 1$ となる。

したがって、$7$ は $S$ の要素である。

(3) $7k$ を $S$ の要素として表したい。つまり、$35m + 21n = 7k$ となる整数 $m, n$ を見つければよい。

$5m + 3n = k$ となる $m, n$ を見つければよい。

(2)で$5m + 3n = 1$ を満たす $m, n$ が存在することを示したので、$5(km) + 3(kn) = k$ となる。

$m=2k, n=-3k$とすると、$5(2k) + 3(-3k) = 10k -9k = k$ となるので、$35(2k) + 21(-3k) = 70k - 63k = 7k$

したがって、$7k$ は $S$ の要素である。

(4) 点 $(m, n)$ と直線 $y = -\frac{5}{3}x + \frac{55}{7}$ すなわち $5x + 3y - \frac{165}{7} = 0$ との距離 $d$ は、

$$d = \frac{|5m + 3n - \frac{165}{7}|}{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \frac{|5m + 3n - \frac{165}{7}|}{\sqrt{34}} = \frac{|35m + 21n - 165|}{7\sqrt{34}}$$

ここで、$m, n$ は整数なので、$35m + 21n$ は $7$ の倍数である。つまり、$35m + 21n = 7k$ となる整数 $k$ が存在する。

$$d = \frac{|7k - 165|}{7\sqrt{34}}$$

$d$ を最小化するには $|7k - 165|$ を最小化すれば良い。

$165 = 7 \cdot 23 + 4$ なので、$k = 23$ のとき $|7k - 165| = |7(23) - 165| = |161 - 165| = 4$ となり、最小となる。

このときの距離は $d = \frac{4}{7\sqrt{34}} = \frac{4\sqrt{34}}{7 \cdot 34} = \frac{2\sqrt{34}}{7 \cdot 17} = \frac{2\sqrt{34}}{119}$ となる。

$k = 23$ のとき、$5m + 3n = 23$ となる整数 $m, n$ を求める。

$5(1) + 3(6) = 5 + 18 = 23$ なので、$m = 1, n = 6$ とすればよい。

3. 最終的な答え

(1) $S$ の要素は $7$ の倍数である (証明済み)。

(2) $7$ は $S$ の要素である (証明済み)。

(3) $k$ を整数とするとき、$7k$ は $S$ の要素である (証明済み)。

(4) 距離の最小値は $\frac{4}{7\sqrt{34}} = \frac{2\sqrt{34}}{119}$ である。