$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$1 + 3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$1 + 3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

1. $1 + 3\sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。

2. $1 + 3\sqrt{2} = r$ （$r$ は有理数）とおきます。

3. この式を変形して $\sqrt{2}$ について解きます。

$1 + 3\sqrt{2} = r$

$3\sqrt{2} = r - 1$

$\sqrt{2} = \frac{r - 1}{3}$

4. $r$ が有理数なので、$r - 1$ も有理数です。

5. $r - 1$ が有理数なので、$\frac{r - 1}{3}$ も有理数です。

6. したがって、$\sqrt{2}$ が有理数であることになります。

7. これは $\sqrt{2}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。

8. よって、$1 + 3\sqrt{2}$ は無理数でなければなりません。

3. 最終的な答え

$1 + 3\sqrt{2}$ は無理数である。