関数 $f(x)$ が、$f(x) = \sin x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt$ という関係を満たすとき、$f(x) = \sin x - \frac{ア}{\pi - イ}$の形で表される。空欄アとイを求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が、$f(x) = \sin x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt$ という関係を満たすとき、$f(x) = \sin x - \frac{ア}{\pi - イ}$の形で表される。空欄アとイを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt$ は定数であることに着目し、$C = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt$ とおく。

すると、$f(x) = \sin x + C$ となる。

次に、この式を積分の中に代入する。

$C = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin t + C) dt$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = [-\cos t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} C dt = C[t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = C(\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{2} C$

よって、$C = 1 + \frac{\pi}{2}C$

$C - \frac{\pi}{2} C = 1$

$C(1 - \frac{\pi}{2}) = 1$

$C(\frac{2 - \pi}{2}) = 1$

$C = \frac{2}{2 - \pi} = \frac{-2}{\pi - 2}$

したがって、$f(x) = \sin x - \frac{2}{\pi - 2}$

これは、$f(x) = \sin x - \frac{ア}{\pi - イ}$ の形であり、ア = 2、イ = 2。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 2