自然数の列を、第1群に2個、第2群に3個、第3群に4個、...というように群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の数を求める。 (2) 第$n$群に入る数の和を求める。 (3) 42が第何群の何番目かを求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、第1群に2個、第2群に3個、第3群に4個、...というように群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

(2) 第$n$群に入る数の和を求める。

(3) 42が第何群の何番目かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

第$n$群の最初の数は、第$(n-1)$群までの項数の合計に1を加えたものである。第$k$群には$k+1$個の数が入っているので、第$(n-1)$群までの項数の合計は、

$$\sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = \frac{n^2 - n + 2n - 2}{2} = \frac{n^2 + n - 2}{2}$$

したがって、第$n$群の最初の数は、

$$\frac{n^2 + n - 2}{2} + 1 = \frac{n^2 + n}{2}$$

(2) 第$n$群に入る数の和を求める。

第$n$群には$n+1$個の数が入っており、最初の数は$\frac{n^2 + n}{2}$である。したがって、第$n$群の最後の数は$\frac{n^2 + n}{2} + n$である。

第$n$群の数の和は、等差数列の和の公式を用いて、

$$S_n = \frac{n+1}{2} \left( \frac{n^2 + n}{2} + \frac{n^2 + n}{2} + n \right) = \frac{n+1}{2} (n^2 + n + n) = \frac{(n+1)(n^2 + 2n)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{2}$$

(3) 42が第何群の何番目かを求める。

まず、42が第$n$群にあると仮定し、$\frac{n^2 + n}{2} \le 42$を満たす最大の$n$を探す。

$n=8$のとき、$\frac{8^2 + 8}{2} = \frac{64 + 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$

$n=9$のとき、$\frac{9^2 + 9}{2} = \frac{81 + 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

したがって、42は第8群にある。第8群の最初の数は36なので、42は第8群の$42 - 36 + 1 = 7$番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の数: $\frac{n^2 + n}{2}$

(2) 第$n$群に入る数の和: $\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$

(3) 42は第8群の7番目