$m$ と $n$ は整数とする。以下の3つの命題を証明する。 (1) $mn$ が奇数ならば、$m$ と $n$ はともに奇数である。 (2) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$mn$ は偶数である。 (3) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m+n$ は奇数である。

1. 問題の内容

$m$ と $n$ は整数とする。以下の3つの命題を証明する。

(1) $mn$ が奇数ならば、$m$ と $n$ はともに奇数である。

(2) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$mn$ は偶数である。

(3) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m+n$ は奇数である。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明する。つまり、「$m$ または $n$ が偶数ならば、$mn$ は偶数である」を示す。$m$ が偶数であると仮定すると、$m = 2k$ （$k$ は整数）と書ける。すると、$mn = 2kn$ となり、これは偶数である。同様に、$n$ が偶数であると仮定すると、$mn$ も偶数となる。よって、対偶が真なので、元の命題も真である。

(2) 対偶を証明する。つまり、「$mn$ が奇数ならば、$m^2 + n^2$ は偶数である」を示す。$mn$ が奇数であるとき、$m$ と $n$ はともに奇数である（(1)より）。したがって、$m = 2k+1$ と $n = 2l+1$ （$k, l$ は整数）と書ける。すると、

$m^2 + n^2 = (2k+1)^2 + (2l+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 + 4l^2 + 4l + 1 = 4(k^2 + k + l^2 + l) + 2 = 2(2(k^2 + k + l^2 + l) + 1)$

これは偶数である。よって、対偶が真なので、元の命題も真である。

(3) $m^2 + n^2$ が奇数であるとき、$m$ と $n$ のどちらか一方が偶数で、もう一方が奇数である。なぜなら、$m$ と $n$ がともに偶数の場合、$m^2 + n^2$ は偶数になり、$m$ と $n$ がともに奇数の場合、$m^2 + n^2$ も偶数になるからである。

$m$ が偶数で $n$ が奇数であると仮定すると、$m = 2k$ および $n = 2l+1$ （$k, l$ は整数）と書ける。すると、$m + n = 2k + 2l + 1 = 2(k+l) + 1$ となり、これは奇数である。

同様に、$m$ が奇数で $n$ が偶数であると仮定しても、$m+n$ は奇数となる。

3. 最終的な答え

(1) $mn$ が奇数ならば、$m$ と $n$ はともに奇数である。（証明完了）

(2) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$mn$ は偶数である。（証明完了）

(3) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m+n$ は奇数である。（証明完了）