$11x \equiv 1 \pmod{7}$ を満たす $x$ を $\pmod{7}$ で求めよ。

1. 問題の内容

$11x \equiv 1 \pmod{7}$ を満たす $x$ を $\pmod{7}$ で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$11$ を $7$ で割った余りを求めます。

$11 = 7 \times 1 + 4$ なので、$11 \equiv 4 \pmod{7}$ です。

したがって、元の式は、$4x \equiv 1 \pmod{7}$ と書き換えられます。

$4x \equiv 1 \pmod{7}$ を満たす $x$ を探します。

$x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対して、$4x$ を計算し、その結果を $7$ で割った余りを求めます。

- $4 \times 1 = 4 \equiv 4 \pmod{7}$

- $4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$

- $4 \times 3 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$

- $4 \times 4 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$

- $4 \times 5 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$

- $4 \times 6 = 24 \equiv 3 \pmod{7}$

$4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ であることから、$x \equiv 2 \pmod{7}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x \equiv 2 \pmod{7}$