奇数の2乗から1を引いた数が、4の倍数になることを証明します。

1. 問題の内容

奇数の2乗から1を引いた数が、4の倍数になることを証明します。

2. 解き方の手順

まず、任意の奇数を $2n+1$ (ここで $n$ は整数) と表します。

奇数の2乗から1を引いた数は、

$(2n+1)^2 - 1$

と表せます。

この式を展開すると、

$(2n+1)^2 - 1 = (4n^2 + 4n + 1) - 1 = 4n^2 + 4n$

となります。

この式を因数分解すると、

$4n^2 + 4n = 4n(n+1)$

となります。

$n(n+1)$ は連続する2つの整数の積なので、どちらか一方は偶数です。

したがって、$n(n+1)$ は偶数であり、$n(n+1) = 2k$ (ここで $k$ は整数) と表せます。

よって、$4n(n+1) = 4(2k) = 8k$ となります。

または、$4n(n+1)$において、$n$または$n+1$のいずれか片方が偶数なので、$n(n+1)$は必ず偶数となる。すると、$4n(n+1)$は、4 x (偶数)なので、8の倍数となります。

ただし、問題は4の倍数であることを証明することなので、$4n(n+1)$ は明らかに4の倍数となります。

3. 最終的な答え

奇数の2乗から1を引いた数は、4の倍数になる。