整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明する代わりに、対偶を証明する。

元の命題の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となる。

$n$ が偶数であると仮定する。このとき、$n$ はある整数 $k$ を用いて、$n = 2k$ と表せる。

このとき、$n^2$ は次のようになる。

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

$2k^2$ は整数なので、$n^2$ は 2 の倍数、つまり偶数である。

したがって、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」が証明された。

対偶が真であるから、元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。（証明終わり）