集合 $A = \{n(n+1) | n \text{ は自然数}\}$ が与えられています。 次の4つの数 $2\times 3$, $4$, $20$, $31$ が集合 $A$ に含まれるか ($ \in $)、または含まれないか ($ \notin $) を判定します。

1. 問題の内容

集合 $A = \{n(n+1) | n \text{ は自然数}\}$ が与えられています。

次の4つの数 $2\times 3$, $4$, $20$, $31$ が集合 $A$ に含まれるか ($\in$)、または含まれないか ($\notin$) を判定します。

2. 解き方の手順

(1) $2 \times 3 = 6$ について考えます。$n(n+1) = 6$ となる自然数 $n$ を探します。

$n=2$ のとき、$2(2+1) = 2 \times 3 = 6$ です。したがって、$6 \in A$ です。

(2) $4$ について考えます。$n(n+1) = 4$ となる自然数 $n$ を探します。

$n=1$ のとき、$1(1+1) = 2$

$n=2$ のとき、$2(2+1) = 6$

$n$ が増加するにつれて、$n(n+1)$ も増加します。したがって、$n(n+1)=4$ となる自然数 $n$ は存在しません。よって、$4 \notin A$ です。

(3) $20$ について考えます。$n(n+1) = 20$ となる自然数 $n$ を探します。

$n=4$ のとき、$4(4+1) = 4 \times 5 = 20$ です。したがって、$20 \in A$ です。

(4) $31$ について考えます。$n(n+1) = 31$ となる自然数 $n$ を探します。

$n=5$ のとき、$5(5+1) = 5 \times 6 = 30$

$n=6$ のとき、$6(6+1) = 6 \times 7 = 42$

$n$ が増加するにつれて、$n(n+1)$ も増加します。$30 < 31 < 42$ より、$n(n+1)=31$ となる自然数 $n$ は存在しません。したがって、$31 \notin A$ です。

3. 最終的な答え

(1) $2 \times 3 \in A$

(2) $4 \notin A$

(3) $20 \in A$

(4) $31 \notin A$