数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ の初項から第800項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ の初項から第800項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の規則性を理解します。分母が$n$である項は$n-1$個あります。

分母が2から始まるので、分母が$n$までの項の総数は $\sum_{k=2}^{n} (k-1) = \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ で表されます。

次に、第800項がどの分母のグループに属するかを考えます。

$\frac{(n-1)n}{2} \le 800$ を満たす最大の$n$を求めます。

$(n-1)n \le 1600$ より、$n \approx 40$ を予想します。

$n=40$ のとき、$\frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$

$n=41$ のとき、$\frac{40 \times 41}{2} = 20 \times 41 = 820$

したがって、第800項は分母が41のグループに属します。分母が40までの項数は780なので、第800項は分母が41のグループの20番目の項であり、$\frac{20}{41}$となります。

初項から第780項までの和を求めます。

分母が$k$である項の和は $\frac{1+2+\dots+(k-1)}{k} = \frac{\frac{(k-1)k}{2}}{k} = \frac{k-1}{2}$です。

したがって、初項から第780項までの和は $\sum_{k=2}^{40} \frac{k-1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{39} k = \frac{1}{2} \times \frac{39 \times 40}{2} = \frac{39 \times 20}{2} = 39 \times 10 = 390$ です。

第781項から第800項までの和を求めます。

これは分母が41のグループの最初の20項の和なので、$\frac{1+2+\dots+20}{41} = \frac{\frac{20 \times 21}{2}}{41} = \frac{10 \times 21}{41} = \frac{210}{41}$ です。

したがって、初項から第800項までの和は $390 + \frac{210}{41} = \frac{390 \times 41 + 210}{41} = \frac{15990 + 210}{41} = \frac{16200}{41}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{16200}{41}$