画像に写っている数式を解く問題です。具体的には、以下の11個の数式を計算します。 (3) $\sqrt{12} \div (-\sqrt{5})$ (4) $-\sqrt{54} \times (-\sqrt{30}) \div \sqrt{48}$ (5) $2\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$ (6) $\sqrt{45} + \sqrt{125}$ (7) $\sqrt{32} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{2} - \sqrt{80}$ (8) $\frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{27} - \sqrt{15})$ (9) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$ (10) $\frac{1}{4}(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2$

1. 問題の内容

画像に写っている数式を解く問題です。具体的には、以下の11個の数式を計算します。

(3) $\sqrt{12} \div (-\sqrt{5})$

(4) $-\sqrt{54} \times (-\sqrt{30}) \div \sqrt{48}$

(5) $2\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$

(6) $\sqrt{45} + \sqrt{125}$

(7) $\sqrt{32} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{2} - \sqrt{80}$

(8) $\frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{27} - \sqrt{15})$

(9) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$

(10) $\frac{1}{4}(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2$

2. 解き方の手順

それぞれの数式について、以下の手順で計算します。

(3) $\sqrt{12} \div (-\sqrt{5})$

まず、$\sqrt{12}$ を $2\sqrt{3}$ に簡略化します。

$2\sqrt{3} \div (-\sqrt{5}) = -\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ をかけます。

$-\frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{15}}{5}$

(4) $-\sqrt{54} \times (-\sqrt{30}) \div \sqrt{48}$

$\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$, $\sqrt{30} = \sqrt{30}$, $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

$3\sqrt{6} \times \sqrt{30} \div 4\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{180}}{4\sqrt{3}}$

$\sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

$\frac{3 \times 6\sqrt{5}}{4\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{5}}{4\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{9\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{15}}{6} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

(5) $2\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = -5\sqrt{3}$

(6) $\sqrt{45} + \sqrt{125}$

$\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$, $\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

$3\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$

(7) $\sqrt{32} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{2} - \sqrt{80}$

$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

$4\sqrt{2} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{2} - 4\sqrt{5} = 2\sqrt{2} - \sqrt{5}$

(8) $\frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{27} - \sqrt{15})$

$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}(3\sqrt{3} - \sqrt{15}) = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{5}$

(9) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$

これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形なので

$(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

(10) $\frac{1}{4}(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2$

$(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3})(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 12 + 8\sqrt{6} + 8 = 20 + 8\sqrt{6}$

$\frac{1}{4}(20 + 8\sqrt{6}) = 5 + 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(3) $-\frac{2\sqrt{15}}{5}$

(4) $\frac{3\sqrt{15}}{2}$

(5) $-5\sqrt{3}$

(6) $8\sqrt{5}$

(7) $2\sqrt{2} - \sqrt{5}$

(8) $3 - \sqrt{5}$

(9) $1$

(10) $5 + 2\sqrt{6}$