1から15までの15個の数字の中から5個の数字を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方が何通りあるかを求めます。 ア: 5個の数字の和は30である。 イ: 選んだ5個の数字の中に5の倍数が2つ含まれていて、それは選んだ数字を大きい順に数えて1番目と3番目である。

1. 問題の内容

1から15までの15個の数字の中から5個の数字を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方が何通りあるかを求めます。

ア: 5個の数字の和は30である。

イ: 選んだ5個の数字の中に5の倍数が2つ含まれていて、それは選んだ数字を大きい順に数えて1番目と3番目である。

2. 解き方の手順

まず、イの条件を満たす5個の数字の組み合わせを考えます。選んだ数字を大きい順に $a, b, c, d, e$ とすると、$a$と$c$が5の倍数である必要があります。1から15までの5の倍数は5, 10, 15です。

* $a=15$ のとき:

* $c=10$ のとき:

$b$は11, 12, 13, 14 のいずれか。

* $b=14$のとき: $15+14+10 + d + e = 30$ より $d+e = 30-39 = -9$。これはありえない。

* $b=13$のとき: $15+13+10 + d + e = 30$ より $d+e = 30-38 = -8$。これもありえない。

* $b=12$のとき: $15+12+10 + d + e = 30$ より $d+e = 30-37 = -7$。これもありえない。

* $b=11$のとき: $15+11+10 + d + e = 30$ より $d+e = 30-36 = -6$。これもありえない。

* $c=5$ のとき:

$b$は6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 のいずれか。

$15+b+5+d+e = 30$ より $b+d+e = 10$

$d < c = 5$ なので $d$ は 1, 2, 3, 4のいずれか。

$e < d$である。

* $b=9$: $d+e = 1$ となるので、この条件を満たすd, eはない。

* $b=8$: $d+e = 2$ 。 $d=1, e=1$となり、$d < c = 5$の条件を満たす。しかし、$e < d$の条件を満たさないので、これはない。

* $b=7$: $d+e = 3$ 。 $d=2, e=1$となる。条件を満たす。 $(15, 7, 5, 2, 1)$

* $b=6$: $d+e = 4$ 。$d=3, e=1$または$d=3, e=1$または$d=2, e=2$となる。 $d<c=5$なので $d=3,e=1$ と $d=2,e=1$ となるので, $(15, 6, 5, 3, 1)$ or $(15, 6, 5, 3,1)$

* $a=10$ のとき:

$c=5$ のとき:

$10+b+5+d+e = 30$ より $b+d+e = 15$

$b$は6, 7, 8, 9 のいずれか。

$d < c = 5$ なので $d$ は 1, 2, 3, 4のいずれか。

$e < d$である。

* $b=9$, $d+e = 6$, $d$は1, 2, 3, 4のいずれか。

$d=4$, $e=2$で条件を満たす $(10, 9, 5, 4, 2)$

$d=3$, $e$は条件を満たさない

$d=2$, $e$は条件を満たさない

$d=1$, $e$は条件を満たさない

* $b=8$, $d+e = 7$。 $d$は1, 2, 3, 4のいずれか。

$d=4, e=3$ で条件を満たす。 $(10, 8, 5, 4, 3)$

* $b=7, d+e = 8$, $d < 5$, $d$は1, 2, 3, 4のいずれか。

$d=4, e=4$で条件を満たさない

* $b=6, d+e = 9$, $d < 5$, $d$は1, 2, 3, 4のいずれか。

解なし

* $a=5$ のとき:

これは条件を満たさない

上記から条件を満たす組み合わせは

$(15, 7, 5, 2, 1)$,

$(15, 6, 5, 3, 1)$,

$(10, 9, 5, 4, 2)$,

$(10, 8, 5, 4, 3)$

の4つ。

3. 最終的な答え

4通り