4つの数字0, 1, 2, 3を重複して使って、指定された条件を満たす自然数の個数を求める問題です。 (1) 3桁の自然数の個数 (2) 3桁以下の自然数の個数 (3) 123より小さい自然数の個数

1. 問題の内容

4つの数字0, 1, 2, 3を重複して使って、指定された条件を満たす自然数の個数を求める問題です。

(1) 3桁の自然数の個数

(2) 3桁以下の自然数の個数

(3) 123より小さい自然数の個数

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数の個数：

3桁の自然数を作るには、百の位は0以外の数字（1, 2, 3のいずれか）でなければなりません。

百の位の選び方は3通りあります。十の位と一の位は、0, 1, 2, 3のいずれでも良いので、それぞれ4通りの選び方があります。

したがって、3桁の自然数の個数は、

$3 \times 4 \times 4 = 48$

通りです。

(2) 3桁以下の自然数の個数：

3桁以下の自然数には、1桁、2桁、3桁の自然数が含まれます。

1桁の自然数は、0を除く1, 2, 3の3つです。

2桁の自然数は、十の位は0以外の数字（1, 2, 3のいずれか）でなければならず、一の位は0, 1, 2, 3のいずれでも良いので、

$3 \times 4 = 12$

通りです。

3桁の自然数は、(1)で求めたように48通りです。

したがって、3桁以下の自然数の個数は、

$3 + 12 + 48 = 63$

通りです。

(3) 123より小さい自然数の個数：

1桁の自然数は、1, 2です。

2桁の自然数は、10の位が1のとき、10, 11, 12, 13の4通り。10の位が2のとき、20, 21, 22, 23の4通り。10の位が3のとき、30, 31, 32, 33の4通りあります。

3桁の自然数は、百の位が1の場合のみ考えます。

百の位が1で、十の位が0の場合、100, 101, 102, 103の4通り。

百の位が1で、十の位が1の場合、110, 111, 112, 113の4通り。

百の位が1で、十の位が2の場合、一の位が0, 1, 2の場合、120, 121, 122の3通り。

したがって、123より小さい自然数の個数は、

$2 + 8 + 4 + 4 + 3 = 21$

通りです。

3. 最終的な答え

(1) 3桁の自然数の個数：48個

(2) 3桁以下の自然数の個数：63個

(3) 123より小さい自然数の個数：21個