画像に示された数学の問題は、以下の通りです。 1. RSA暗号を使った暗号化

## 問題の整理と解答

1. **問題の内容**

画像に示された数学の問題は、以下の通りです。

1. RSA暗号を使った暗号化

2. アトバシュ暗号とRSA暗号を使った暗号化

3. ポリュビオス式暗号とRSA暗号を使った暗号化

4. 「ひらがな」のポリュビオス式暗号とRSA暗号を使った暗号化

5. 自分の苗字または名前を暗号化（平文と暗号の2つ入力）

2. **解き方の手順**

それぞれの問題に対する解き方を説明します。

1. **RSA暗号を使った暗号化**

公開鍵 $(e, n) = (3, 55)$ を使って、「15 33 28 05」を暗号化します。RSA暗号化は $C = P^e \pmod{n}$ で行います。ここで $P$ は平文、$e$ は公開鍵、$n$ は法、$C$ は暗号文です。

- 15: $15^3 \pmod{55} = 3375 \pmod{55} = 61 \cdot 55 + 10 = 10$

- 33: $33^3 \pmod{55} = 35937 \pmod{55} = 653 \cdot 55 + 22 = 22$

- 28: $28^3 \pmod{55} = 21952 \pmod{55} = 399 \cdot 55 + 7 = 7$

- 05: $5^3 \pmod{55} = 125 \pmod{55} = 2 \cdot 55 + 15 = 15$

2. **アトバシュ暗号とRSA暗号を使った暗号化**

アトバシュ暗号で「CAT」を変換し、その結果をRSA暗号で暗号化します。公開鍵は $(e, n) = (7, 33)$ です。

- アトバシュ暗号：A → Z, B → Y, C → X, ... より、C → X (24)、A → Z (26)、T → G (7)。

- 暗号化：

- $24^7 \pmod{33}$

- $26^7 \pmod{33}$

- $7^7 \pmod{33}$

- 計算:

- $24^7 \pmod{33} = (24^2)^3 * 24 \pmod{33} = 576^3 * 24 \pmod{33} = (17*33 + 15)^3 * 24 \pmod{33} = 15^3 * 24 \pmod{33} = 3375 * 24 \pmod{33} = (102 * 33 + 9) * 24 \pmod{33} = 9 * 24 \pmod{33} = 216 \pmod{33} = 6*33 + 18 = 18$

- $26^7 \pmod{33} = (26^2)^3 * 26 \pmod{33} = 676^3 * 26 \pmod{33} = (20*33 + 16)^3 * 26 \pmod{33} = 16^3 * 26 \pmod{33} = 4096 * 26 \pmod{33} = (124 * 33 + 4) * 26 \pmod{33} = 4 * 26 \pmod{33} = 104 \pmod{33} = 3*33 + 5 = 5$

- $7^7 \pmod{33} = (7^2)^3 * 7 \pmod{33} = 49^3 * 7 \pmod{33} = (1*33 + 16)^3 * 7 \pmod{33} = 16^3 * 7 \pmod{33} = 4096 * 7 \pmod{33} = (8*33 + 16) * 7 \pmod{33} = 16 * 7 \pmod{33} = 112 \pmod{33} = 3*33 + 13 = 13$

3. **ポリュビオス式暗号とRSA暗号を使った暗号化**

ポリュビオス式で「DOG」を変換し、その結果をRSA暗号で暗号化します。公開鍵は $(e, n) = (5, 38)$ です。

- ポリュビオス式（問題文に定義がないので、一般的と思われるアルファベット順の数字を使う）：D=4, O=15, G=7

- 暗号化：

- $4^5 \pmod{38}$

- $15^5 \pmod{38}$

- $7^5 \pmod{38}$

- 計算:

- $4^5 \pmod{38} = 1024 \pmod{38} = 26*38 + 36 = 36$

- $15^5 \pmod{38} = (15^2)^2 * 15 \pmod{38} = 225^2 * 15 \pmod{38} = (5*38 + 35)^2 * 15 \pmod{38} = 35^2 * 15 \pmod{38} = 1225 * 15 \pmod{38} = (32*38 + 9) * 15 \pmod{38} = 9 * 15 \pmod{38} = 135 \pmod{38} = 3*38 + 21 = 21$

- $7^5 \pmod{38} = (7^2)^2 * 7 \pmod{38} = 49^2 * 7 \pmod{38} = (1*38 + 11)^2 * 7 \pmod{38} = 11^2 * 7 \pmod{38} = 121 * 7 \pmod{38} = (3*38 + 7) * 7 \pmod{38} = 7 * 7 \pmod{38} = 49 \pmod{38} = 1*38 + 11 = 11$

4. **「ひらがな」のポリュビオス式暗号とRSA暗号を使った暗号化**

「日高」をポリュビオス式で変換し、その結果をRSA暗号で暗号化します。公開鍵は $(e, n) = (3, 51)$ です。

- ここでは問題文にポリュビオス式の定義がないため、一般的な五十音表を使い、各文字の行と列の番号を連結して数字に対応させる方式を使用します。例えば、「あ」は11、「い」は12となります。

- 今回は便宜的に、「日」を24, 「高」を41と仮定します。

- 暗号化：

- $24^3 \pmod{51}$

- $41^3 \pmod{51}$

- 計算:

- $24^3 \pmod{51} = 13824 \pmod{51} = 271*51 + 3 = 3$

- $41^3 \pmod{51} = 68921 \pmod{51} = 1351*51 + 20 = 20$

5. **自分の苗字または名前を暗号化**

例として、「裙沢栄一」の「ぐみさわ」を暗号化します。

- ポリュビオス式で「ぐみさわ」を変換し、RSA暗号で暗号化します。公開鍵は問題文に指定がないので、適当に $(e, n) = (3, 77)$ とします。（問題文の指示がないので、ポリュビオス式とRSA暗号を使用しないことも考えられます。）

- 「ぐ」は23、「み」は33、「さ」は31、「わ」は45と仮定します。

- 暗号化：

- $23^3 \pmod{77}$

- $33^3 \pmod{77}$

- $31^3 \pmod{77}$

- $45^3 \pmod{77}$

- 計算:

- $23^3 \pmod{77} = 12167 \pmod{77} = 158*77 + 1 = 1$

- $33^3 \pmod{77} = 35937 \pmod{77} = 466*77 + 55 = 55$

- $31^3 \pmod{77} = 29791 \pmod{77} = 387*77 + 10 = 10$

- $45^3 \pmod{77} = 91125 \pmod{77} = 1183*77 + 74 = 74$

3. **最終的な答え**

1. RSA暗号：「10 22 7 15」

2. アトバシュ暗号とRSA暗号：「18 5 13」

3. ポリュビオス式暗号とRSA暗号：「36 21 11」

4. ひらがなのポリュビオス式暗号とRSA暗号：「3 20」

5. 自分の苗字または名前（「ぐみさわ」）：平文「ぐみさわ」、暗号文「1 55 10 74」