$17x + 12y = 2$ の整数解 $(x, y)$ において、$x + y$ の値が 100 未満で最も大きくなるときの $x + y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$17x + 12y = 2$ の整数解 $(x, y)$ において、$x + y$ の値が 100 未満で最も大きくなるときの $x + y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$17x + 12y = 2$ の一般解を求める。

$17x + 12y = 2$ の特殊解の一つとして $(x, y) = (2, -2)$ がある。

実際、$17(2) + 12(-2) = 34 - 24 = 10 \neq 2$ である。

特殊解を探すために、ユークリッドの互除法を用いる。

$17 = 12 \cdot 1 + 5$

$12 = 5 \cdot 2 + 2$

$5 = 2 \cdot 2 + 1$

よって、$1 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 2 \cdot (12 - 5 \cdot 2) = 5 - 2 \cdot 12 + 4 \cdot 5 = 5 \cdot 5 - 2 \cdot 12 = 5 \cdot (17 - 12) - 2 \cdot 12 = 5 \cdot 17 - 5 \cdot 12 - 2 \cdot 12 = 5 \cdot 17 - 7 \cdot 12$

したがって、$17 \cdot 5 + 12 \cdot (-7) = 1$

両辺を 2 倍すると、$17 \cdot 10 + 12 \cdot (-14) = 2$

よって、特殊解は $(x, y) = (10, -14)$ である。

次に、$17x + 12y = 2$ と $17 \cdot 10 + 12 \cdot (-14) = 2$ の差を考える。

$17(x - 10) + 12(y + 14) = 0$

$17(x - 10) = -12(y + 14)$

17 と 12 は互いに素なので、$x - 10 = 12k$、$y + 14 = -17k$ ($k$ は整数) と表せる。

よって、$x = 12k + 10$、$y = -17k - 14$

したがって、一般解は $(x, y) = (12k + 10, -17k - 14)$ である。

$x + y = (12k + 10) + (-17k - 14) = -5k - 4$

$x + y$ が 100 未満で最大になるのは、$-5k - 4 < 100$ より $-5k < 104$ なので、$k > -\frac{104}{5} = -20.8$

$k$ は整数なので、$k = -20$ のとき、$x + y = -5(-20) - 4 = 100 - 4 = 96$

このとき、$x = 12(-20) + 10 = -240 + 10 = -230$、$y = -17(-20) - 14 = 340 - 14 = 326$

よって、$17(-230) + 12(326) = -3910 + 3912 = 2$ であり、確かに解になっている。

3. 最終的な答え

96