整数 $n$ について、$n^2 + 3n - 1$ が5の倍数でないことを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、$n^2 + 3n - 1$ が5の倍数でないことを証明する。

2. 解き方の手順

$n$ は整数なので、$n$ を5で割った余りは、0, 1, 2, 3, 4 のいずれかである。

それぞれの余りの場合について、$n^2 + 3n - 1$ を5で割った余りを計算し、いずれの場合も0にならないことを示す。

* $n = 5k$ (kは整数) のとき

$n^2 + 3n - 1 = (5k)^2 + 3(5k) - 1 = 25k^2 + 15k - 1 = 5(5k^2 + 3k) - 1$

このとき、$n^2 + 3n - 1$ を5で割った余りは -1 つまり 4 である。

* $n = 5k + 1$ (kは整数) のとき

$n^2 + 3n - 1 = (5k + 1)^2 + 3(5k + 1) - 1 = 25k^2 + 10k + 1 + 15k + 3 - 1 = 25k^2 + 25k + 3 = 5(5k^2 + 5k) + 3$

このとき、$n^2 + 3n - 1$ を5で割った余りは 3 である。

* $n = 5k + 2$ (kは整数) のとき

$n^2 + 3n - 1 = (5k + 2)^2 + 3(5k + 2) - 1 = 25k^2 + 20k + 4 + 15k + 6 - 1 = 25k^2 + 35k + 9 = 5(5k^2 + 7k + 1) + 4$

このとき、$n^2 + 3n - 1$ を5で割った余りは 4 である。

* $n = 5k + 3$ (kは整数) のとき

$n^2 + 3n - 1 = (5k + 3)^2 + 3(5k + 3) - 1 = 25k^2 + 30k + 9 + 15k + 9 - 1 = 25k^2 + 45k + 17 = 5(5k^2 + 9k + 3) + 2$

このとき、$n^2 + 3n - 1$ を5で割った余りは 2 である。

* $n = 5k + 4$ (kは整数) のとき

$n^2 + 3n - 1 = (5k + 4)^2 + 3(5k + 4) - 1 = 25k^2 + 40k + 16 + 15k + 12 - 1 = 25k^2 + 55k + 27 = 5(5k^2 + 11k + 5) + 2$

このとき、$n^2 + 3n - 1$ を5で割った余りは 2 である。

いずれの場合も、$n^2 + 3n - 1$ は5で割り切れない。

3. 最終的な答え

$n^2 + 3n - 1$ は5の倍数ではない。