100から200までの整数について、次の問いに答えます。 (1) 3でも4でも割り切れる数は何個ありますか。 (2) 3でも4でも割り切れない数は何個ありますか。 (3) 3と4のどちらで割っても2余る数のうち、150に最も近い数は何ですか。 (4) 3で割れば2余り、4で割れば3余る数のうち、最も大きい数は何ですか。

1. 問題の内容

100から200までの整数について、次の問いに答えます。

(1) 3でも4でも割り切れる数は何個ありますか。

(2) 3でも4でも割り切れない数は何個ありますか。

(3) 3と4のどちらで割っても2余る数のうち、150に最も近い数は何ですか。

(4) 3で割れば2余り、4で割れば3余る数のうち、最も大きい数は何ですか。

2. 解き方の手順

(1) 3でも4でも割り切れる数は、3と4の最小公倍数である12で割り切れる数です。

100から200までの整数のうち、12で割り切れる最小の数は $12 \times 9 = 108$ です。

12で割り切れる最大の数は $12 \times 16 = 192$ です。

したがって、12で割り切れる数は $9, 10, 11, ..., 16$ の8個です。

(2) 100から200までの整数は全部で $200 - 100 + 1 = 101$ 個です。

(1)より、3でも4でも割り切れる数は8個です。

3または4で割り切れる数を求めます。

3で割り切れる数は、最小が$3 \times 34 = 102$、最大が$3 \times 66 = 198$ なので、 $66-34+1=33$個です。

4で割り切れる数は、最小が$4 \times 25 = 100$、最大が$4 \times 50 = 200$ なので、 $50-25+1=26$個です。

3でも4でも割り切れる数は8個なので、3または4で割り切れる数は $33+26-8 = 51$個です。

したがって、3でも4でも割り切れない数は $101 - 51 = 50$個です。

(3) 3と4のどちらで割っても2余る数は、3と4の最小公倍数である12で割っても2余る数です。

つまり、$12n + 2$ の形をした数です。

$12n + 2$ が100から200の間にあるとき、$100 \le 12n + 2 \le 200$ となります。

$98 \le 12n \le 198$

$98/12 \le n \le 198/12$

$8.166... \le n \le 16.5$

$n$ は整数なので、$9 \le n \le 16$ です。

$12n+2$ が150に最も近い数を探します。

$12n+2 = 150$ とすると、$12n = 148$ なので、$n = 148/12 = 12.333...$

$n=12$ のとき、$12 \times 12 + 2 = 146$

$n=13$ のとき、$12 \times 13 + 2 = 158$

$|146-150| = 4$, $|158-150| = 8$ なので、150に最も近い数は146です。

(4) 3で割れば2余り、4で割れば3余る数を探します。

そのような数を $x$ とすると、

$x \equiv 2 \pmod{3}$

$x \equiv 3 \pmod{4}$

$x = 3a + 2 = 4b + 3$ (a, bは整数)

$3a - 4b = 1$

この方程式を満たす整数解を探します。

$a=3, b=2$ が一つの解なので、 $x = 3 \times 3 + 2 = 11$

$x = 11 + 12k$ の形をした数が条件を満たします (kは整数)。

$100 \le 11 + 12k \le 200$

$89 \le 12k \le 189$

$89/12 \le k \le 189/12$

$7.416... \le k \le 15.75$

$k$ は整数なので、$8 \le k \le 15$ です。

最も大きい数は、$k=15$ のとき、$x = 11 + 12 \times 15 = 11 + 180 = 191$です。

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) 50個

(3) 146

(4) 191