問題27: $\sqrt{7}$ が無理数であることを証明します。ただし、$n$を自然数とするとき、$n^2$が7の倍数ならば、$n$は7の倍数であることを用いて良いものとします。

1. 問題の内容

問題27: $\sqrt{7}$ が無理数であることを証明します。ただし、$n$を自然数とするとき、$n^2$が7の倍数ならば、$n$は7の倍数であることを用いて良いものとします。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $\sqrt{7}$ が有理数であると仮定します。

(2) すると、互いに素な整数 $a$、$b$ ($b \neq 0$) を用いて、$\sqrt{7} = \frac{a}{b}$ と表すことができます。

(3) 両辺を2乗すると、$(\sqrt{7})^2 = (\frac{a}{b})^2$ となり、$7 = \frac{a^2}{b^2}$ が得られます。

(4) これを整理すると、$a^2 = 7b^2$ となります。

(5) この式は、$a^2$ が7の倍数であることを示しています。

(6) 問題文の条件より、$a^2$ が7の倍数ならば、$a$ は7の倍数です。したがって、$a = 7k$ ( $k$は整数) と表すことができます。

(7) $a = 7k$ を $a^2 = 7b^2$ に代入すると、$(7k)^2 = 7b^2$ となり、$49k^2 = 7b^2$ が得られます。

(8) 両辺を7で割ると、$7k^2 = b^2$ となります。

(9) この式は、$b^2$ が7の倍数であることを示しています。

(10) 問題文の条件より、$b^2$ が7の倍数ならば、$b$ は7の倍数です。

(11) ここで、$a$ と $b$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。なぜなら、$a$ も $b$ も7の倍数であるからです。

(12) したがって、最初の仮定が誤りであったことになり、$\sqrt{7}$ は無理数であると結論付けられます。

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$ は無理数である。