問題26: 整数 $n$ について、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

問題26: 整数 $n$ について、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

$n$ が 3 の倍数でないと仮定する。

このとき、$n$ は $3k+1$ または $3k+2$ （$k$ は整数）の形で表せる。

(i) $n = 3k+1$ のとき

$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

$3k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は 3 で割ると 1 余る数である。つまり、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

(ii) $n = 3k+2$ のとき

$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

$3k^2 + 4k + 1$ は整数なので、$n^2$ は 3 で割ると 1 余る数である。つまり、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

いずれの場合も、$n^2$ は 3 の倍数ではないので、$n^2$ が 3 の倍数であるという仮定に矛盾する。

したがって、$n$ は 3 の倍数でなければならない。

3. 最終的な答え

$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である。（証明終わり）