与えられた選択肢の中から正しいものをすべて選ぶ問題です。選択肢は、無理数と有理数の和または積が常に無理数または有理数であるかどうかを述べています。

数論有理数無理数数の性質代数的証明

2025/7/28

1. 問題の内容

2. 解き方の手順

(1) 無理数と有理数の和は常に無理数である。

- これは正しいです。有理数を

r

、無理数を

i

とすると、

r+i

が有理数だと仮定すると、

r+i = q

(qは有理数)となり、

i = q-r

となります。有理数同士の差は有理数なので、

i

が有理数となり、矛盾します。したがって、

r+i

は無理数です。

(2) 無理数と有理数の和は常に有理数である。

- これは誤りです。上記の(1)で説明したように、無理数と有理数の和は常に無理数です。

(3) 無理数と有理数の積は常に無理数である。

- これは誤りです。有理数が0の場合、積は0となり有理数になります。例えば、

\sqrt{2} \times 0 = 0

で、0は有理数です。

(4) 有理数と無理数の積は常に有理数である。

- これは誤りです。有理数が0でない場合、積は無理数になります。例えば、

2\sqrt{2}

は無理数です。有理数が0の場合、積は0となり有理数になります。

3. 最終的な答え

(1)

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