$n$ は自然数である。$n+1$ は6の倍数であり、$n+4$ は9の倍数であるとき、$n+13$ は18の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

$n$ は自然数である。$n+1$ は6の倍数であり、$n+4$ は9の倍数であるとき、$n+13$ は18の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

$n+1$ が6の倍数であることから、$n+1 = 6k$ （$k$ は整数）と表せる。

したがって、$n = 6k - 1$ となる。

次に、$n+4$ が9の倍数であることから、$n+4 = 9l$ （$l$ は整数）と表せる。

$n = 6k - 1$ を代入すると、$6k - 1 + 4 = 9l$ より $6k + 3 = 9l$ となる。

両辺を3で割ると、$2k + 1 = 3l$ となる。

したがって、$2k = 3l - 1$ となる。

$3l - 1$ は偶数なので、$l$ は奇数である。そこで、$l = 2m + 1$ （$m$ は整数）とおくと、

$2k = 3(2m + 1) - 1 = 6m + 3 - 1 = 6m + 2$

$k = 3m + 1$ となる。

$n = 6k - 1$ に $k = 3m + 1$ を代入すると、

$n = 6(3m + 1) - 1 = 18m + 6 - 1 = 18m + 5$ となる。

したがって、$n+13 = (18m + 5) + 13 = 18m + 18 = 18(m+1)$ となる。

$m+1$ は整数なので、$n+13$ は18の倍数である。

3. 最終的な答え

$n+13$ は18の倍数である。（証明終わり）